定常１次元熱伝導方程式の解法２

定常１次元熱伝導方程式の解法２

 

次のように、熱伝導率が不連続に変化する場合の定常１次元の熱伝導方程式について考える。

　　

x=l₁で、Tとが連続であれば、x=l₁における温度T₁とすると、熱流束に関して

　　

が成立し、

　　

となる。

特に、l₁=l₂=l/2の場合、

　　

ここで、

　　

とおくと、形式的に

　　

と書くことができる。

 

（３）は調和平均と呼ばれるもので、一般に

　　

が成立する。

だから、

このように熱伝導率が不連続的に変化する場合、熱流束（温度勾配）の計算にあたって、熱伝導率の算術平均を使うことはできない。

 

ネムネコは前回、

　　

の熱伝導率の計算において

 　　

と算術平均を用いたが、「この熱伝導率の計算には、算術平均ではなく調和平均を使うべきなのではないか」という話があって、この計算で算術平均を使う数学的な根拠は、結構、脆弱(^^ゞ

 

ではあるが、熱伝導率の計算に算術平均を使った場合は以下の通り。

調和平均を使った場合は、

と算術平均を用い場合のほうが、調和平均を用いたものよりも、熱伝導率が温度に対して直線的に変化する場合、良好な計算結果を得ることができる。

熱伝導率などの物性値は、相変化や化学変化などを伴わない場合、温度変化の幅が狭いならば、ほとんど直線的に変化するので、算術平均を使ったほうがより現実に近い。

 

これで、算術平均を安心して使うことができる。