お前らに質問（３月３１日）の答らしきもの(^^ゞ

お前らに質問（３月３１日）の答らしきもの(^^ゞ

 

問題　次の広義積分を求めよ。

 

この問題の正解は、広義積分は存在しないです。

というのは、

は

　　

の簡略表現で、右辺第１項、右辺第２項が

　　

となって、広義積分を定義することはできないから。

 

ε>0とすると、

　　

となるので、

　　

としたくなりますが、

（１）は

　　

だから、（２）のように計算をしてはいけないんだね〜。

 

これは、一般項が

　　

である数列があるとすると、

　　

だから、

　　

となって、は存在しないけれど、

　　

と計算するのと同じ過ちを犯しているというわけ。

 

なお、

【解答１】の

　　

などは、公式、

　　

の過大適用で論外！！

 

 

【解答らしきもの】

ε>0、ε'>0とするとき、

　　

ε→0、ε'→0のとき、（３）が極限値を持てばは存在するが

　　

として、自然数nをどんどん大きくして、ε→0、ε'→0に近づけるとき、（３）の極限値はlog1=0となり、

　――先に求めたのは、この場合！！――

また、

　　

として、ε→0、ε'→0に近づけるとき、（３）の極限値はlog２になる。

つまり、εとε’の0への近づけ方によって、（３）の値は変化して、１つの値に定まらない。

したがって、は存在しない。

（解答らしきもの終）

 

 

宿題　次の広義積分が存在することを示せ。

　　

【解答らしきもの】

[0,1]では積分可能。

任意のa>1に対して、[1,a]

　　

はaに対して単調増加で

　　

だから、は上に有界。

したがって、は存在する。

よって、

　　

となり、この広義積分は存在する。

（解答らしきもの終）