第７回 写像

第７回　写像

 

§１　写像

 

XとYを空でない集合（空集合でない）とする。Xの各要素xに対して、Yの要素をただ１つ対応させる規則をXからYへの写像という。

fがXからYへの写像であるとき、

　　または

などであらわす。

f：X→Yであるする。Xの要素xに対応しているYの要素をf(x)で表し、これを写像fによるxの像という。f(a)=bであるとき、a∈Xをfによるb∈Yの原像という。

また、Xを写像fの始域または定義域、Yをfの終域または値域（註）という。

 

【註】

実数全体の集合をRとし、その部分集合Aを

　　

とし、f(x)=xでAからRへの写像が定義されるとする。

このとき、f(x)がとりうる値は0≦f(x)≦1だから、

　　

このBを、y=f(x)=xで定義されるAからRへの写像fの値域という場合もあるので注意。

値域という言葉は無用の混乱を招くので、終域という言葉を使用すべきなのでしょうが、終域ではなく値域という言葉を使う場合もあるので、あえて本文中に値域という言葉も記した。

（註終）

 

問１　A={1, 2}からB={3, 4, 5}への写像をすべて挙げよ。

【解】

AからBへの写像はf₁、f₂、・・・、f₉の９通りある。

a∈Aのfによる像f(a)との関係を(a,f(a))で表すことにすると、

　　　　

（解答終）

 

とするとき、AからBへの写像の（個）数は、（個）である。

 

問２　とするとき、AからBへの写像の数は、であることを示せ。

【解】

それぞれにのm通りの場合があるので、写像の数は

　　

（解答終）

 

とする。任意のx∈Xに対して、f(x)=g(x)であるとき、fとgは等しいといい、

　　

と表す。

 

Xを写像、A⊂Xとする（AはXの部分集合）。

XからXへの写像、f:X→Xが、任意のx∈Xに対して、f(x)=xであるとき、恒等写像といい、記号で表す。

また、f:A→Xが、任意のx∈Aに対して、f(x)=xであるとき、包含写像といい、記号で表す。

 

 

§２　合成写像

 

写像に対して、

　　

によって定義される写像を、fとgの合成写像という。

 

問３　f(x)=x²、g(x)=2x−1で与えられる、RからRへの写像f、gについて、を求め、一般にが成立しないことを確かめよ。

【解】

　　

（解答終）

 

問４　実数全体で定義された２つの関数

　　

について、次の問に答えよ。

（１）　すべてのxに対して

　　

が成り立つとき、直線y=g(x)は常に定点を通ることを示せ。

（２）　すべてのxに対して

　　

が成り立つような関数h(x)を全て求めよ。

【解】

（１）

　　

すべてのxに対してf(g(x))=g(f(x))が成り立つので、

　　

よって、y=g(x)は

　　

したがって、aの値にかかわらず、y=g(x)は点(1,1)を通る。

直線y=g(x)は定点(1,1)を常に通る。

 

（２）　問題の条件より

　　

　

（解答終）

 

 

定理１２（結合法則）

写像とすると、

　　

【証明】

任意のx∈Xについて、

　　

（証明終）