第６回 直積

第６回　直積

 

平面上に互いに直交する２直線をとり、それぞれをx軸、y軸と名づけ、それをもとに座標平面上の点に座標(a,b)を与えることができる。

この座標においてもっとも重要なことは、(a,b)と(b,a)の区別である。何故ならば、(a,b)が表す点と(b,a)が表す点は、a=bでないかぎり、異なる点であるからである。

一般に、２つのものa、bから作られた(a,b)を、aとbから作られた順序対という。そして、２つの順序対(a,b)と(a',b')とが等しいのは、a=a'かつb=b'と定義する。

(a,b)と(a',b'が等しいことを

　　

と表し、(a,b)と(a',b')が等しくないことを

　　

と表す。

 

A、Bを集合とする。Aの要素aとBの要素bから作られた順序対(a,b)全体の集合を、AとBの直積といい、記号A×Bで表す。

すなわち、

　　

 

例　A={1, 2}、B={a, b, c}ならば

　　

である。

 

Aの要素の数がm、Bの要素の数がnならば、直積A×Bの要素の数はmnである。

 

AとBのいずれかが空集合であるとすると、Aの要素とBの要素とから作られる順序対は存在しない。したがって、このとき、直積A×Bは空集合である。

すなわち、

　　

 

さらに、n個の集合について、各から１つずつ要素をとり、組を作る。そして、とが等しいのはの場合に限ると定義する。このような組の全体の集合を、の直積といい、と表す。

　　

特に、であるとき、であらわす。

 

（補足）

　　

さらに、I={1, 2, 3, ・・・, n}とし、

　　

などと書く場合がある。

 

そして、いきなり、選択公理！！

 

選択公理

Λ≠∅かつすべてのλ∈Λに対して、集合であるならば、

　　

である。

 

（１）からの類推として、選択公理は直観的に明らかだが・・・。

 

 

定理１１　A、B、Cを任意の集合とするとき、次のことが成り立つ。

【証明】

（証明終）

 

AからBへの写像をfとすれば、Aの任意の要素aとfによる像f(a)から作られる順序対(a,f(a))の全体の集まりは、直積A×Bの部分集合になる。これをfのグラフといい、記号などで表す。

すなわち、

　　

である。