高校の写像のおさらい

高校の写像のおさらい

 

§１　復習

 

１　写像と関数

集合Xの各要素に集合Yの要素ただ１つ対応しているとき、この対応fをXからYへの写像といい、記号

　　

で表す。

a∈Xに対応するb∈Yとするとき、bをfによるaの像といいなどであらわす。すなわち

　　

また、このとき、aをfによるbの原像という。

特に、XとYが数の集合の場合、写像fを関数という。

 

２　合成写像

であるとき、XからZへの写像が考えられる。これをfとgとのXからZへの合成写像という。

x∈X、z∈Zとすると、

　　

 

３　上への写像と１対１の写像

写像で、fの値域とYが一致するとき、fをXからYの上への写像という。

のとき、fはXからYへの１対１の写像という。

 

４　逆写像

写像が、XからYの上への１対１の写像、すなわち、fがXからYの上への写像、かつ、XからYへの１対１の写像である場合、逆にYからXへの写像gが考えられ、gをfの逆写像といい、記号で表す。

　　

 

§２　問題

 

問題１　とし、とする。

（１）　XからYへの写像の数はいくつか。

（２）　XからYへの１対１の写像の数はいくつか。

（３）　XからYの上への１対１の写像の数はいくつか。

【解】

（１）　のそれぞれにn通りの対応があるので、写像の数は

　　

 

（２）　これはn個のからm個取り出し、それを並べる場合の数と等しい。

したがって、m≦nのとき

m>nのときは０。

 

（３）　このとき、集合XとYの要素の数は等しい。つまり、m=n。

したがって、

（解答終）

 

問題２　２つの関数に対して、次の合成関数を求めよ。

【解】

（解答終）

 

 

問題３　次の問に答えよ。

（１）　のとき、となる関数g(x)を求めよ。

（２）　においてfとf⁻¹が一致するようにa、bの値を求めよ。

【解】

（１）

 

（２）　このとき、が成立するので、

　　

fとf⁻¹が一致するので、

　　

任意のxについて成立するので、

　　

したがって、

　　a=1のときb=0

　　a=−1のときbは任意の実数

よって、

　　

（解答終）

 

 

問題４　とする。

（１）　合成写像を求めよ。

（２）　を求めよ。

（３） の逆写像を求めよ。

【解】

 

（３）　だから、g(x)はg(x)の逆写像g⁻¹(x)。

したがって、

　　

（解答終）

 

（３）の別解として、

【別解１】

　　

 

【別解２】

　y=g(x)とすると、

　　

xについて解くと、

　　

したがって、

　　

だから、

　　

（別解）

 

 

読むと、即死の内容。だから、絶対に読むな！！

死にたい奴は読んでも良い。

 

 

読むと即死の内容です。

 

に写像を対応させると、行列Aがfに、行列Bがgに対応するとき、ABはfとgの合成写像に対応する。

 

【証明】

とすると、ABは

　　

である。

一方、

　　

よって、ABはfとgの合成写像に対応する。

（証明終）

 

このことを用いると、問題３は次のように解くことができる。

 

【解答】

とを対応させる。

　　

（解答終）

 

なお、上の解答に出てくる記号「〜」は「対応する」くらいの意味。

 

このことを知っていれば、次の問題は簡単に解くことができる。

 

問題５　関数の逆関数がであるとき、a、b、cを求めよ。

【解】

とおくと、

　　

したがって、a=2、b=3、c=4。

（解答終）