集合の問題

集合の問題

 

問題１　有理数a、bを用いてa+b√2と書ける数全体の集合をAとする。次の数がAに属するかどうか判定せよ。

【解】

有理数全体の集合をQとする。

（１）　a=−2/3∈Q、b=0∈QだからAに属する。

 

（２）

　　

a=1∈Q、b=−1/2∈QだからAに属する。

 

（３）　属さない。√3=a+b√2になるとすると、a=√3−b√2∈Qとなるが、√3−b√2は無理数で矛盾する。

 

（４）　

よって、a=2∈Q、b=−1∈QだからAに属する。

（解答終）

 

問題２　次の２つの集合A、Bの包含関係を調べよ。

【解】

２つの集合を平面に図示すると、下図の通り（境界を含む）。

 

 

したがって、A⊃B。

（解答終）

 

 

問題３　次のことを証明せよ。

【解】

　　

（解答終）

 

問題４　および

とするとき、次の集合を求めよ。

【解】

　　

また、

　　

したがって、

　　

（１）　だから、

　　

 

（２）　

 

（３）　C⊂Aだから、C∩A=C。

したがって、

　　

ド・モルガンの法則より

　　

（解答終）

 

 

問題５　整数全体の集合をZとする。Zの部分集合Aは次の条件（１）、（２）を満たしている。このとき、A=Zであることを示せ。

【解】

　　0=1−1∈A、−1=0−1∈A

同様に、

　　

n∈A、−n∈A（n>0)とすると

　　

したがって、A=Zである。

（解答終）