［線形代数ってなにさ？_9］

［線形代数ってなにさ？_9］

 

10．ベクトル空間の根空間への直和分解定理

　これから線形代数前半の最終目標である、ベクトル空間の根空間への直和分解定理を、今までやってきた事の総力をあげて証明します。前回予告したように、標準的証明で使用されるユークリッドの互助法は使いません。

　ところがそうすると、総力をあげてと言いながら本質的に［線形代数ってなにさ？_4］でやった直和補空間の性質［定理-1］と、［線形代数ってなにさ？_5］でやった線形変換の標準分解の［系-1］関連の性質のみで証明できてしまうのです(^^)。

 

　以後、Ｖ上の線形変換Ａの像空間をいちいちImage(Ａ)と書くのは面倒なので、簡単にＡＶと書きます。

　補題を一個証明します。根空間への直和分解定理は、次の補題からストレートに出てきます。

［補題-1］

　ＡとＢをベクトル空間Ｖ上の線形変換で、ＡとＢは可換とする。Ｖ₀＝ker(ＡＢ)，Ｖ₁＝ker(Ａ)，Ｖ₂＝ker(Ｂ)とした時、Ｖ₁とＶ₂が独立なら、

　　

［証明］

　まずＡＢに対するＶ₁とＶ₂の挙動を調べます。ＡとＢが可換なので、

　　

は題意から明らか。よってＶ₁⊂Ｖ₀。

　　

も題意から明らか。よってＶ₂⊂Ｖ₀。従って、

　　

　Ｖ₁とＶ₂の和空間が直和になるのは、Ｖ₁とＶ₂が独立だから。

 

　［定理-1］より、{0}空間も含めれば任意の部分空間には直和補空間が存在します。そこでＶ₀での、

　　

の直和補空間を、Ｖ₃で表します。

　　

　Ｖ₃＝{0}である事を示す。

　Ｂに対するＶ₁の挙動を調べます。(1)は、

　　

という事でもあるので、題意からＢＶ₁⊂Ｖ₁＝ker(Ａ)です。

　線形変換ＢのＶ₁への制限Ｂ|_Ｖ1の核を調べてみましょう。線形変換Ｂの定義域をＶ₁へ制限するという事は、Ｂの核Ｖ₂＝ker(Ｂ)をわざわざ定義域から除外するという事だから、　

　　

です。何故ならＶ₁とＶ₂が独立だから。従ってＶ₁上でＢは正則。しかもＢＶ₁⊂Ｖ₁なので、

　　　

となり、ＢはＶ₁上で正則線形変換です。このようなものは[系-1]から全単射でした。よって、

　　

　次に、Ｂに対するＶ₃の挙動を調べます。定義からＶ₃もＶ₃⊂Ｖ₀なので、

　　

が成り立ち、ＢＶ₃⊂Ｖ₁＝ker(Ａ)です。Ｂ|_Ｖ3を考えればＶ₃の定義から、

　　

なので、ＢはＶ₃上でも正則です。従って、

　　

となります。Ｖ₁とＶ₃の和空間が直和になるのは、Ｖ₃の定義からＶ₁とＶ₃が独立だから。Ｂによる変換結果が直和なのは、［定理-3］より正則線形写像は独立なベクトルを独立に移すから。

　(5)に(4)を考慮すると、

　　

です。従ってＶ₁の中でのＶ₁の直和補空間ＢＶ₃は、Ｖ₁の部分基底で張られる必要がありますが、ＢＶ₃がＶ₁に対する直和補空間である事から、それは不可。にも関わらずＶ₁と独立になり得る部分空間は、ＢＶ₃＝{0}空間以外ありません。よって、

　　

を導けます。

　同様に(2)はＡとＢが可換なので、

　　

という事でもあるので、ＡＶ₂⊂Ｖ₂でかつ正則，ＡＶ₃⊂Ｖ₂でかつ正則も導けて、

　　

となります。従って、

　　

　このとき(3)は、

　　　　

［証明終］

 

　次がケーリー・ハミルトンの定理です。前回予告したように、これは証明しません。

［定理-13］

　ベクトル空間Ｖ上の線形変換Ａの特性多項式φ_Ａ(λ)、

　　　　

のλを形式的にＡで置き換えた線形変換の多項式、

　　　　

は（Ｅは恒等変換または単位行列）、

　　　　

である。ここでＶの次元をnとすれば、h₁＋h₂＋・・・＋h_m＝n。ただしi≠jについてλ_i≠λ_j。

［証明］

　こいつは密輸入品だから、天下りに認める(^^;)。

［証明終］

 

　そして次が、根空間への直和分解定理です。

［定理-14］

　n次元ベクトル空間Ｖ上の線形変換Ａの特性多項式φ_Ａ(λ)のλを形式的にＡで置き換えた線形変換の多項式が、

　　　　

で、各因数から定義される根空間を、

　　

とすれば（i≠jについてλ_i≠λ_j）、全空間Ｖは、

　　

と直和分解される。

［証明］

　［定理-13］からφ_Ａ(Ａ)＝0である。よってker(φ_Ａ(Ａ))＝Ｖ。

　(7)の各因数を

　　

とし、

　　

と2つに分けて考えてみれば、p₁p₂・・・p_m-1と(Ａ－λ_mＥ)^hmは、同じ線形変換Ａの多項式なので明らかに可換。またp₁p₂・・・p_m-1と(Ａ－λ_mＥ)^hmは、多項式として互いに素なので（i≠jについてλ_i≠λ_jだから）、前回の［定理-9］より、その核は独立。よってp₁p₂・・・p_m-1と(Ａ－λ_mＥ)^hmは、[補題-1]のＡ，Ｂの条件を満たすので、

　　

　ここに、

　　

　Ｗ_m-1に対して同様に、p₁p₂・・・p_m-1＝(p₁p₂・・・p_m-2)p_m-1＝(p₁p₂・・・p_m-2)(Ａ－λ^m-1Ｅ)^h(m-1)と分けて考えれば、

　　

　ここに、

　　

　以上の操作を帰納的に繰り返せば、

　　

になる事がわかる。ベクトルの和は可換なので、

　　

で良い。

［証明終］

 

　次の系は、h₁＋h₂＋・・・＋h_m＝n＝[Ｖの次元]なので、各根空間の次元はその次数目一杯でなけりゃh₁＋h₂＋・・・＋h_m＝nにはならないよ、という事からほぼ明らかなのですが、まぁ～数学ですからね(^^;)。

 

［系-5］

　根空間の次元は、その高さに等しい。

［証明］

　各根空間の高さ（多項式としての次数）をh_jとすれば、

　　

である。nは全空間の次元。

　異なる固有値に属する根空間は独立で、根空間で全空間は直和分解されるから、各根空間の次元の和は全空間Ｖの次元nに等しい。sを1以上の整数として、もし根空間Ｖ_jの次元がその高さh_jよりs低ければ少なくとも、

　　

になる。よってk≠jのどれかについてＶ_kの次元は、その高さh_kを越える必要がある。しかし前回の［定理-12］から、根空間の次元はその高さ以下なので、これは不可。よって根空間の次元はその高さに等しい必要がある。

［証明終］

 

　こうして根空間の次数としての高さは、根空間の次元としての高さになります。

　で、次の定理を対角化可能定理と言うのですが、まぁ～「言ってみただけ」の定理ではあります。具体的な計算方法を示さないからです。この定理の価値は、そういうものが存在し得るという、存在定理としての価値です(^^;)。

 

［定理-15］

　線形変換Ａが対角化可能な条件は、Ａの全ての根空間で、それに含まれる固有空間の高さが、その固有空間を含む根空間の高さに一致する事。

［証明］

　［線形代数ってなにさ？_7］と［線形代数ってなにさ？_8］の状況説明(^^;)。

［証明終］

　でもって、また状況説明です

　［定理-14］によって根ベクトル基底の存在がわかりました。根ベクトル基底に移ります。変換行列は固有ベクトル基底の時と同じく、線形変換の表現行列Ａの根ベクトル（数ベクトル）を縦ベクトルとして並べてやった行列Ｓです。ただし同じ固有値に属する根ベクトル基底は連続して並べるとします。まぁ～、普通の人はそうしますけどね(^^)。

　xを根空間Ｖ_jに属する根ベクトルとすると、定義から(Ａ－λ_jＥ)^hjx＝0です。xのＡによる変換結果Ａxはどうなるか？というと、

 

なので、Ａx∈ker((Ａ－λ_jＥ)^hj)＝Ｖ_jとなり、任意の根ベクトルはそれが属する根空間から出て来れません。この事は根ベクトル基底の変換結果は、同じ固有値に属する根ベクトル基底だけで表される事を意味します。

　以上を念頭に、根ベクトル基底に移った時の表現行列の姿を想像すると、

ですよね？。対角線上に根空間の高さでh_j×h_jのブロックを持つ、ブロック対角行列になります。これがほぼ望みのものです。各ブロックの最下段が(0，0，・・・，0，λ_j)になるのは、固有ベクトルを少なくとも一つ含むからです。

　根ベクトル基底で線形変換Ａを表すと、Ａの作用を調べるには各根空間ごとに、より小型の表現行列をローカルに順番に調べて行けば良い事になります。いわば変数分離された状態です。馬鹿で不器用な人間に、これほどあり難い事はありません(^^;)。

　この姿を、さらに対角形に近づけられないか？と考えられたのが、ジョルダンの標準形です。ジョルダンの標準形を使えば、

という姿にまで追い込む事は可能です。各ブロックは対角線の直上だけに非零成分が並ぶ、二重対角行列に出来ます。ジョルダンの標準形の証明は、概念的に少々面倒臭い上、実用的に使う事はほぼないだろうと思えるので、ここではやりません。

 

　最後に。もしここまでついてこれたなら、「あなたは、線形代数を半分制覇したも同じです！」（自分の意見では(^^;)）。