［線形代数ってなにさ？_7］

［線形代数ってなにさ？_7］

 

７．固有ベクトル基底

　基底変換するのは、最も便利な座標系に移りたいからでした。その中でもとりわけ汎用性があり、実用的にも最も有用なのが、固有ベクトル基底への変換です。

 

［定義-15］

　Ａをn次元ベクトル空間Ｖ上の線形変換として、Ａx＝λxを満たすスカラーλと0でないx∈Ｖを、線形変換Ａの固有値、および固有値λに属する固有ベクトルと言う。

 

　最初に線形変換Ａを数ベクトルに作用する行列として状況説明します。行列式も行列演算も連立一次方程式の整備も全部すっ飛ばしてやってるので申し訳ないですが、固有値と固有ベクトルの計算は以下のようになります。Ａx＝λxを移項するとＥを単位行列として、

　　

になりますが、上記がx＝0以外の解を持つ条件は、

　　

です。行列式の計算法を読むとＡがn×n行列の場合、det(Ａ－λＥ)はλのn次多項式になるのがわかります。

　　

　上式の右辺を行列Ａの特性多項式といい、φ_Ａ(λ)で表す事が多いです。従って固有値λはn次方程式、

　　

を解く事で得られます。一般にはλは複素数です。固有ベクトルは得られたλを(1)に代入して、実際に(1)を解けば得られます。原理的にはですが（非常に悪効率）。実用的には（数値計算では）効率を重視して反復解法を用います。

 

　次の事実はけっこう簡単に証明できます。

 

　　・異なる固有値に属する固有ベクトルは独立である。

 

　λはn次方程式(2)の解です。よってλにはn個の値λ＝λ₁，λ₂，・・・，λ_nがある事になり、λ₁～λ_nが全部異なれば、互いに独立な固有ベクトル{x₁，x₂，・・・，x_n}を得ます。Ｖの次元はnだったので、これは基底です。

　線形変換の定義に戻って、固有ベクトル基底{x₁，x₂，・・・，x_n}に関する線形変換の挙動を調べてみます。行列Ａに対応する線形変換をfとします。という事は{x₁，x₂，・・・，x_n}は数ベクトルとは限りません。

　　

ですよね？。diagは対角行列です。だって(1)に対応したf(x)＝λxが成り立つ{x₁，x₂，・・・，x_n}なんですから！。

 

　　・固有ベクトル基底に移ると表現行列は対角行列です(^^)。

 

　そうすると線形変換fによる任意のベクトルxの変換は、

で済んじゃいますから、ほとんど計算する必要も考える必要もなくなります。これが固有ベクトル基底が好まれる理由です。

 

　具体的に固有ベクトル基底に移る手順は以下です。前回の基底変換の表現ベクトルの変換を思い出します。

　　

　Ｓは基底変換行列。(γ_j)はfの行列表現が（対角でない）Ａとなる現在の基底(v_j)での表現ベクトル，変換後の基底(x_j)での表現ベクトルが(η_j)です。いま(5)は、どれかの固有ベクトルx_jの表現ベクトルだとします。(5)の右辺は基底(x_j)での表現ベクトルなので、x_jの表現は当然、

　　

 

と第j成分だけが1の自然基底の単位ベクトルになります。左辺の添え字jは、j番目の固有ベクトルの表現という意味です。左辺はどのように決まるでしょう？。

　　

から、

　　

なので、移項して転置して(v_j)の独立性を使えばいつものように、

　　

が得られます。λ_jとr_j＝(γ_ij)は、普通に数ベクトル空間に作用する行列Ａの固有値と固有ベクトルである事がわかります。j＝1～nのr_jとe_jを全部集めて、(6)を横に並べた姿を想像すると、

ですよね？(^^)。つまり固有ベクトル基底への基底変換行列Ｓは、普通に計算した固有ベクトルを縦ベクトルとして横に並べて作った行列なのです。Ｓをそうやって作った基底変換行列だとすると、前回の相似変換により、

　　

と変換できます！。

　基底の選択により姿は変われども、表現行列を与えればとにかく線形変換は決まるので、けっきょくは表現行列が線形変換の全ての情報を握っていたという、考えてみれば当然の話でした(^^;)。

 

　固有ベクトル基底に関する概念上の含みはこうです。前回とある基底に関する線形変換fの表現行列をＡとした時、fの実体とは、Ｓを任意の正則行列としてＳ^-1ＡＳ全体であると言いました。今回Ａとして対角行列Ｄを選択するのが可能なのがわかりました。Ｄで表現されたfの作用は自明です。またＤをfの特徴付けに選ぶ事も可能です。Ｓ^-1ＤＳとＤは、任意の正則行列Ｓによって互いに移るからです。従ってＤさえわかれば、線形変換fの全てを、原理上は知ったと言える事になります。

 

　さぁ～もうやる事は決まりました！。

 

　ネコ先生の記事を読んで(^^)、

 

任意の行列Ａの固有値と固有ベクトルをバリバリ計算し、どんなＡだってカッチョ良く扱うだけです！(^^)。

 

　ところがその前に、しなければならない事があります。以上の話は全て、固有値λ＝λ₁，λ₂，・・・，λ_nが全部異なれば、という制約付きでした(^^;)。特性多項式(2)は一般に、

と因数分解されるので、重根を持ちます。k₁＋k₂＋・・・＋k_m＝nですが、重根があった場合もはたして独立なn本の固有ベクトルは存在するのか？、という問題があります。結論から言うと、固有ベクトル基底が存在しないケースもありますが、ほぼ望み通りのものが手に入ります(^^)。

 

（執筆：ddt³さん）