ワンポイントゼミ 行列の対角化

ワンポイントゼミ　行列の対角化

 

２次の正方行列の相異なる固有値をα、β、そして、α、βに対応する固有ベクトルをとする。

固有値と固有ベクトルの定義より、

　　

これを１つの行列であらわすと、

　　

となる。

は相異なるα、βに対応する固有ベクトルなので、互いに一次独立である。

したがって、

　　

とおくと、行列Pの行列式｜P｜≠0であり、Pは逆行列P⁻¹をもつ。

よって、

　　

つまり、

　　

このように行列の固有ベクトルを用いて、対角行列を作ることを行列の対角化という。

 

２次の正方行列について述べたが、Aをn次の正方行列とし、その相異なるn個の固有値を、これに対応する固有ベクトルをとし、

　　

とすると、

　　

と、行列の対角化を行うことができる。

 

また、（１）より、

　　

同様にして、

　　

が成り立ち、

　　

（５）式を用いて、を求めることができる。

 

を求めるだけならば、

　　

同様に、

　　

したがって、

　　

とした方がスッキリしていますが・・・。

 

問題　とするとき、次の問に答えよ。

（１）　Aの固有値、固有ベクトルを求めよ。

（２）　を求めよ。

（３）　次の漸化式で与えられる数列の一般項を求めよ。

　　

【解】

（１）　Aの固有方程式は

　　

k=1に対応する固有ベクトルは

　　

k=5に対応する固有ベクトルは

　　

 

（２）　とおくと、

　　

よって、

　　

 

（３）　この漸化式は行列を用いると、

　　

と表すことができる。

したがって、

　　

よって、

　　

である。

（解答終）

 

行列を用いれば、（３）の連立漸化式の一般項も求められるという話。

 

 

さらなる高みを目指して

 

問題２　である、を求めよ。

【解】

と考えると、

　　

したがって、

　　

行列の固有値は

　　

k=3に対する固有ベクトルは

　　

k=1に対する固有ベクトルは

　　

したがって、は

　　

と対角化可能。

　　

よって、

　　

（解答終）

 

と、行列とその対角化をもちいて、わざわざ難しくして解くことも可能！！

 

 

宿題　行列を用いて、であるを求めよ。

 

ヒトによっては、この問題は超難問かもしれませんね〜。

鶴亀算で簡単に解ける問題を、１次方程式→２元１次連立方程式→行列式→行列といった具合に、問題を難しくして解くのが数学（の歴史）です(^^)

 

ヒントを出そうかと思いましたが、この問題はノーヒントで。

そして、地獄を見てください。

 

 

あるヒトは、

 

【名（迷）解答】

漸化式

　　

の固有方程式と固有値は、

　　

したがって、

　　

ここで、

　　

とおけば、

　　

したがって、

　　

【名（迷）解答終】

 

と解くかもしれません。

「これだから、⑨の奴らは・・・」と⑨未満のお利口さんは笑うかもしれない。

しかし、オレは絶対に笑わない。

 

「すぐには解けないかもしれない」ていいんだよ。自分の頭で考え、とにかく、いまの自分でできるところまで、とことん、やってみるってことが大切なんだよ。

そして、その後、この漸化式をうまく行列で表現し、固有値、固有ベクトル、行列の対角化をうまく行えた時、「これって、ひょっとして、これと同じことをやっているんじゃないか」と思うはず。

 

皆さんのぶっ飛んだ宿題の回答を、心より、お待ちしております(^^)