曲線座標におけるテンソル

曲線座標におけるテンソル

 

曲線座標を曲線座標に変換式を

　　

とする。

これを

　　

であらわし、その逆変換を

　　

であらわすことにする。

 

をスカラーtの関数とすれば、もスカラーの関数である。

すると合成関数の微分法より

　　

となる。

ここで、

　　

とおけば、３個の関数の組が、座標変換によって

　　

と変換されたことになる。このような関数の組を反変ベクトルという。

 

のスカラー関数をとし、それに対応する座標における関数をとすると、

　　

である。

したがって、

　　

ここで、

　　

とおけば、３個の関数の組が、座標変換によって

　

と変換されたことになる。このような変換を受ける関数の組を共変ベクトルという。

 

ベクトルと同様に、２次のテンソルも次の３つに分類される。

９個のの関数の組が、座標変換

　　

のように変換されるとき、反変テンソルという。

９個のの関数の組が、座標変換

　　

のように変換されるとき、共変テンソルという。

９個のの関数の組が、座標変換

　　

のように変換されるとき、混合テンソルという。

 

ところで、

　　

である。

ここで、

　　

である。

したがって、

　　

である。

 

問　次のことを示せ。

を反変ベクトル、を共変ベクトルとすれば、

　　

はスカラーである。これをとの内積という。

【解】

は反変ベクトルだから、

　　

は共変ベクトルだから

　　

したがって、

　　

よって、

　　

はスカラーである。

（解答終）

 

とすると、

　　

と内積を定義することができる。