無限乗積２ 収束の条件

無限乗積２　収束の条件

 

定理１　無限乗積が収束するための必要十分条件は、任意の正数ε>0に対して適当なを定めることができて、であるすべての整数n、kに対して

　　 

である。

【証明】

必要性：もしが収束すれば、0に等しいは有限個しかないので、ある番号から先ではである。そこで、すべてのnに対してと仮定する。

　　

とおくと、仮定より

　　

であるPが存在する。よって、n=0,1,2,・・・に対して

　　

となる正数Cが存在する。

また、Cauchyの定理より、任意のCε>0に対して、適当なが存在して、のすべてのn、kに対して

　　

が成立する。

だから上式をで割ると、

　　

十分性：仮定より、ε=1/2に対して適当なmを選べば、n>mであるすべてのnに対して

　　

ここで、

　　

とおけば、

　　

したがって、が存在すればその極限値は０ではない。

次に任意のε>0に対して、であるを定めれば、であるすべてのn、kに対して

よって、Cauchyの定理から収束し、その極限値は0ではない。ゆえに、は収束する。

（証明終）

 

定理１でk=1とすれば、

　　

となり、

　　

したがって、無限乗積が収束するとき、

　　

でなければならない。

無限乗積が収束するときの極限値は1なので、無限乗積を

　　

と書くことにすると、次の定理が成り立つ。

 

定理２　が収束するならば、である。

 

定理３　のとき、とは同時に収束、発散する。

【証明】

が収束するとする。

　　

とおくと、

　　

が存在するので、上式の右辺の極限値も存在し、

　　

となる。

逆にが存在するとする。

定理１より適当なを選べば、であるすべてのn,kと0<ε<1に対して

　　

のとき、Log zを1の近傍で展開すれば

　　

 

問　は収束することを示せ。

【解】

　　

は収束するから、は（絶対）収束する。したがって、は収束する。

（解答終）

 

 

定理４　のとき、無限級数と無限乗積は同時に収束または発散する。

【証明】

が収束するための必要条件はであるから、ある番号から先はと仮定してよい。

ならば

　　

この不等式はのときも成立するから、は同時に収束または発散する。

またの代わりにを置き換えれば

　　

となるから定理３よりは同時に収束または発散する。

（証明終）

 

無限乗積が収束するとき、は絶対収束するという。

 

定理５　絶対収束する無限乗積は収束する。