無限乗積１

無限乗積１

 

無限乗積の定義

 

三角関数の半角公式

　　

を繰り返して用いると、

　　

0<x<πならば、

　　

だから

 

　　

したがって、

　　

ゆえに

　　

特に、x=π/2のとき

　　

このように無限個の数を掛けあわせたものを無限乗積という。

 

数列が与えられたとき

　　

を無限乗積といい、をその第n項、

　　

をその第n項までの部分積という。

 

いま仮にであるとすると、

　　

となり、

　　

また、

　　

とすると、

　　

となり、各項が０でないのに無限乗積が

　　

となってしまう。

そこで、次のように無限乗積の収束と発散を定義することにする。

 

［Ⅰ］　すべてのが０でなく、

　　

となるPが存在するとき、無限乗積はPに収束するといい

　　

と書く。

また、のとき、無限乗積は零に発散するという。

が存在しないとき、は発散するという。

 

［Ⅱ］　の中に0に等しい物が有限個あり、それらの項を取り除いた残りの無限乗積が［Ⅰ］の意味で収束するとき、もとの無限乗積は零に収束するといい、

　　

と書く。除外した残りが（０に）発散するときは、は零に発散するという。

 

［Ⅲ］　の中に無限個の0に等しい物があるときは、は発散するという。

 

 

問１　次のことを示せ。

　　

【解】

　　

よって、

　　

 

問２　はともに発散することを示せ。

【解】

　　

したがって、は発散する。

　　

したがって、は０に発散する。

（解答終）

 

問３　次の関係を示せ。

　　

ただし、

　　

【解】

　　

したがって、

　　

（解答終）