浮動小数点とは何か

浮動小数点とは何か

 

例えば、次の小数があるとする。

0.375は

だから、十進数で0.375の小数(0.375)₁₀は

と２進数の小数(0.011)₂である。

 

（１）の右辺の２進数小数(0.011)₂は

と表すことができる。

このように、

と、小数点の次に0以外の数字aが来るように小数を表す方法を、正規化された浮動小数点表示という。

そして、数字の列abc・・・のところを仮数部、２を基数、数字列αβγ・・・のところを指数部という。

いま、コンピュータの話をしており、コンピュータは２進数なので、文字列a,b,c,・・・、さらに、α,β,γのところには0と１が入る。ただし、aはa≠0である。

 

ところで、コンピュータでどのように負の数を表すか、知っているケロか。

いま、仮に４bitのコンピュータがあるとする。

十進数の７は、このとき、

となる。

この最初の数字の0は意味を持っているから勝手にとっちゃ駄目だケロよ。

で、十進数の−７は、コンピュータでどのように扱われるかというと、(3)の0111の1と0を反転すると、

この反転した1000に0001を加えたもの、つまり、

だケロ。

−３を求めるには、まず十進数の３を４ビットの２進数0011に変換し、次にビット列を反転する。

そして、これに0001を加えると、

となるので、4bitコンピュータ上では1101になる。

つまり、（4bit）コンピュータの場合、符号付きの数の場合、最初のビットは正負を表していて、0から始まる場合は非負の数、1で始まる場合は負の数であることを表しているんだにゃ。

このように２の補数を用いて、コンピュータでは負の数を表すんだケロ。

 

少し時代が下がり、コンピュータ技術が進み、コンピュータが１６bitまで扱えるようになったとするにゃ。そして、次のように、浮動小数点を扱えるようになったとするにゃ。

 

 

S：仮数部の符号（０は正、１は負を表す）

E：２のべき乗の指数部（負の数は２の補数）

M：仮数部の絶対値

 

このとき、十進数0.375は、正規化された浮動小数点方式ではどうなるか、考えてみるにゃ。

だから、符号のところのSには0が入るにゃ。

1は4bitの２進数では0001だから、

よって、

したがって、Sのところには、１１１１が入り、次のようになるにゃ。

 

 

１０進数の0.1は

となるので、

となる。

したがって、十進数0.1はこのコンピュータ上では

に変換され、0.000024414の丸め誤差が発生している。

仮数部１１bitだから随分と精度がいいように思うかもしれないけれど、実際は、浮動小数点の数の計算では0.09997だから精度は４桁もないんだにゃ。

 

実際のコンピュータに使用されているものは、IEEE（「IとりぷるE」など呼ぶ）規格で、今回紹介したもののとは異なるけれど、基本は同じだにゃ。