複素関数の微分の補充問題

複素関数の微分の補充問題

 

f(z)は領域Dで定義されているとする。zがD内の点z₀に近づくとき、

　　

が近づき方に無関係に一つの有限値に近づくならば、この極限値をf(z)のz₀における微分係数といい、であらわす。また、このとき、f(z)はz₀で微分可能という。

すなわち、

　　

領域Dの全ての点でf(z)が微分可能であるとき、f(z)はDで正則であるという。w=f(z)がDで正則であるとき、

Dの各点zにf'(z)を対応させることにより、Dで定義された関数f'(z)が定まる。この関数を導関数といい、

　　

 

例　のとき

　　

nが正の整数で、のとき、

　　

したがって、

　　

 

問題１　次の関数はz=0で微分可能か。

【解】

z=x+iyとする。

（１）　で、z≠0とすると、

　　

直線y=mxにそってzが原点に近づけると、

　　

この極限は直線の傾きmによって変わるのでz=0で微分可能ではない。

 

（２）　f(z)=Re(z)=xとおき、z≠0とすると、

　　

y=mxにそって原点に近づけると、

　　

したがって、z=0で微分可能ではない。

（解答終）

 

定理（コーシー・リーマンの関係式）

がz₀=x₀+iy₀で微分可能であるための条件は、u、vがともに(x₀,y₀)で全微分可能で、

　　

このとき、

　　

 

問題２　次の関数の微分可能性を調べよ。

　　

【解】

　　だから、u=x²+y²、v=0。

u,yの偏導関数は連続だから、すべての(x,y)で全微分可能。また、(x,y)=(0,0)のとき

　　

だから、f(z)はz=0で微分可能。

(x,y)≠(0,0)では、

　　

なので、f(z)はz≠0で微分可能でない。

（解答終）

 

問　コーシー・リーマンの関係式を用いて、問題１の関数の微分可能性を調べよ。

 

 

問題３　指数関数

　　

の導関数がであることを示せ。

【解】

　　

したがって、

　　

よって、

　　

したがって、u、vの偏導関数は(x,y)の全点で連続で全微分可能。

また、

　　

となりコーシー・リーマンの関係を満たす。

したがって、はzの全点で微分可能（正則）である。

　　

（解答終）

 

 

問題４　関数f(z)が領域Dで正則で、次の条件のいずれかを見たぜばf(z)はDで定数であることを示せ。

【解】

とする。

（ⅰ）

　　

よって、uとvはDで定数。したがって、f(z)はDで定数である。

 

（ⅱ）　だから。　コーシー・リーマンの関係よりとなり、f(z)はDで定数である。

 

（ⅲ）

　　

したがって、

　　

コーシー・リーマンの関係より

　　

したがって、

　　

u²+v²=0のとき、u=v=0。

のときだから、コーシー・リーマンの関係より。

いずれの場合も、uとvは定数となり、したがって、f(z)はDで定数である。

（解答終）