正則関数による写像 [複素解析]
正則関数による写像
領域Dで定義された関数w=f(z)により、D内の曲線
は、一般に、w平面の曲線
にうつされる。
特に、fがDで正則で、Cが滑らかな曲線ならばfによるCの像であるΓも滑らかな曲線になる。
C₁、C₂をz₀を通る滑らかな曲線とし、Γ₁、Γ₂をw=f(z)によるそれぞれの像とする。z₀におけるC₁、C₂の接線のなす角がw₀=f(z₀)におけるΓ₁、Γ₂の接線のなす角に向きを含めて等しいとき、w=f(z)はz₀において等角写像という。
定理
w=f(z)がz₀において微分可能、かつ、とする。このとき、w=f(z)はz₀において等角写像である。
【証明】
点z₀をとおる2つの滑らかな曲線をC₁、C₂とし、とする。
とおくと、仮定よりf(z)は微分可能だから
である。
また、だからz₁をz₀の十分近くにとるととすることができるので、
これより
偏角をとって
一方、
だから、
(証明終了)
したがって、のときはz₀において必ずしも等角写像ではない。
例 とすると、n=1のときはz平面の全点で等角、n≧2のときはz=0以外で等角である。
なぜならば、n=1のとき、つまり、f(z)=zのとき、
であり、n≧2のとき
となり、z=0のときにf'(0)=0になるから。
たとえば、n=2のとき、原点を通る直線はw平面上の直線にうつされ、実軸となす角度がcから2cに変わる。
だけれども、定理より、w=f(z)が正則な関数であれば、となる点z₀以外での等角性は保証されるので、fが定数関数でなければ、ほとんどの点で等角写像である。
問1 次の場合について、w=f(z)による写像が等角でないようなz平面上の点を求めよ。
【解】
(1) とおくと、。
よって、
(2) とおくと、
したがって、f'(z)=0は
よって、z=±1。
(解答終)
問2
による円|z|=cの像を求めよ。
【解】
おとくと、
よって、|z|=r=c=1のとき、
0≦θ<2πの範囲でθを変化させると、−1≦u≦1となりり、w平面の実軸上の|u|≦1の線分にうつる。
z≠1のとき、r=cとおくと、①より
また、cos²θ+sin²θ=1だから、
の楕円にうつる。
(解答終)
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