境界要素法入門５

境界要素法入門５

 

［境界要素法-3］

　境界要素法の内点方程式。

　　

　は解析領域R上の積分，はRの境界C上の線積分，φはΔφ＝g(x，y)を満たす未知関数です。qとはφとの外法線微分値。はδをデルタ関数として、

を満たし、

　　

を取れます。

　以上が出発点です。

 

　φ(ξ，η)は、

　　

の積分結果なのでした。(ξ，η)を積分領域Rの内部に置いた場合（内点とした場合）、(1)が得られますが、解けない形でした。(ξ，η)を積分領域Rの外部に置いた場合（外点とした場合）は、

　　

となり離散化すれば解けますが、不評なのでした。とすればもう後できる事は、(ξ，η)をRの境界Cに置く（境界点とする）しかないじゃないですか(^^;)。

　デルタ関数δ(ξ，η)を境界上で考えRで積分する場合、の再評価が必要になります。評価結果は簡単ですが、ここでたいてい怪しげな計算が登場し（コーシーの主値積分）、一部の理論家からは酷評される事になります。デルタ関数の数学的に厳密な定義にまで遡って再評価するなんて、やってられないですもんね(^^;)。そこでここでは、どうせいい加減になるならばという事で、の再評価にデルタ関数の等方性を使います。

 

　デルタ関数δ(ξ，η)って、特異点(ξ，η)を中心に等方的ですよね？（本当は関数じゃないけど）。だって(x，y)≠(ξ，η)ではδ＝0で、(x，y)＝(ξ，η)ではδ＝∞なんですから、これを等方的と言わずして何と言う？です(^^)。

　次に(x，y)≠(ξ，η)ではδ＝0ですから、(ξ，η)を内点として含む限りどんな積分領域を取っても、積分結果は同じです。なので特に積分領域として、(ξ，η)を中心とした半径εの円を取れます。(ξ，η)を中心とした円は、(ξ，η)を中心に等方的です。

　等方的な関数を等方的な領域で積分したら、どうなりますか？。例えばを、(ξ，η)を中心とした円で積分したら。もしになったとしたら、半円での積分値は1/2ですよね？。1/4の扇型に積分領域を制限したら、明らかに積分値は1/4ですよね？。

 

　δ(ξ，η)を境界上に置いた場合、半径εの円が十分小さければ(ξ，η)の近傍で、積分領域Rの境界Cはふつう直線とみなせます。半径εの円は、その直線によって半分だけRに引っかかります。よって、

　　

です。εがいくら小さくても直線とみなせないケースもあります。(ξ，η)がCの角点になるケースです。この時は角の内角をkとすれば明らかに、

　　

です。従って、

　　

です。デルタ関数はこういう事が、普通の関数と同じく実用的に出来るように、非常に注意深く造られたものです(^^)。

 

　前回やったように(1)を離散化します。結果は、

　　

でした。ここでは具体的な数値で与えられます。iは特異点番号，jは節点番号です。

　いま特異点は境界上にあるので、iはどれかのjと一致します。一致するj＝iの内角をとすると、(4)左辺のは、におきかわる事になります。i＝1，2，・・・を考慮して行列記法で書けば、

　　

です。iが角でない場合なので

　　

はクロネッカーのデルタ、すなわち、

　　

です。

　(5)の未知数も境界未知量のみなので、これも境界方程式と呼ばれます。(5)を解いて境界上のφ，qを定め(1)を併用するのが、境界要素法の直接法です。

 

　(5)から明らかなように、直接法では自動的に未知数の数に等しい条件数が得られます。また(5)の理論的誤差は、境界Cを折れ線近似した境界要素の長さと近似関数で決まるので、誤差評価も容易になります。

　こうしてユーザーにはよりわかりやすく（← ホントか？(^^;)）、理論家達も満足する定式化が得られました。

 

　しかし代償もあります。基本解

　　

はr＝0に特異性を持ちます。間接法の場合、の特異点(ξ，η)は積分領域Rの外部にあるので、(1)右辺の積分は普通に行えます。直接法の場合(ξ，η)は境界上にあるので、r＝0を含む特異積分を処理する必要に迫られます。

 

　の特異性はlog(r)のオーダーなので可積です。の特異性はアークタンジェントの計算に帰着できます。ただしそのような計算はコンピューターには出来ないので、特異点を持つ境界要素の積分では、人間の指示で場合分けし、解析的積分公式をプログラムに書いてやるか、特殊要素を用いる事になります。

 

　でもやれば、何とかなりますよ(^^)。