問題の答（８月５日）

問題の答（８月５日）

問題

（１）　閉区間[0,1]で定義される関数f、g,hが、f(x)=x²、g(x)=x、h(x)=x³であるとき、

　　

が成立することを確かめよ。

（２）　④を証明せよ。

　　

 

ちなみに、

記号、

　　

は、閉区間[a,b]における関数f(x)の最大値を表す。

 

【解】
（１）　[0,1]で、

　　

である。

したがって、[0,1]で

　　

また、

　　

とすると、

　　

したがって、F(x)はx=2/3のときに最大で

　　

さらに、

　　

とおくと、

　　

だから、G(x)はx=1/√3のときに最大で

　　

よって、

　　

となり、

　　

成立する。

 

（２）　f、g、hは[a,b]で連続だから、｜f(x)–h(x)｜、｜h(x)–g(x)｜は[a,b]で連続。

したがって、

　　

は[a,b]で連続で、[a,b]で最大値をもつ。

これがx=c（c∈[a,b]）のときに最大になるとすると、

　　

同様に、｜f(x)–h(x)｜、｜h(x)–g(x)｜は[a,b]で最大値を持ち、

　　

が成立するので、

　　

である。

（解答終）

 

ということで、

　　

が成立する。

さらに、