分数方程式、無理方程式の解法

分数方程式、無理方程式の解法

 

意外に間違いやすいのが分数方程式、無理方程式を解くことということで、分数方程式、無理方程式を取り上げることにするにゃ。

 

§１　分数方程式の解法

 

例題１　次の分数方程式と解け。

　　

【解】

　　

分母の最小公倍数(x–1)(x+2)(x–2)を両辺に掛けると、

　　

x=−2は①の（右辺の）分母を0にするので、x=−2は解として不適。

よって、x=3。

（解答終）

 

上の例題１のx=−2のような解を無縁解という。

分数方程式①と、①に最小公倍数(x–1)(x+2)(x–2)を両辺に掛け分母を払った２次方程式②は同値ではないので注意が必要！！

だから、解の吟味を忘れずに。

 

 

問題１　次の分数方程式を解け。

　　

【解】

（１）

　　

①の両辺に2(x+1)(x+2)を掛けると、

　　

 

（２）

　　

両辺に(x–5)(x–8 )を掛けると

　　

 

（３）　式の形に注目し、

　　

とおくと、

　　

u=1のとき、

　　

u=2のとき

　　

（解答終）

 

 

問題２　連立方程式

　　

を解け。

【解】

対称性に注目し、u=x+y、v=xyとおき、①を書き換えると、

　　

u=2,v=1のとき、

　　

u=−1、v=−1/2のとき

　　

（解答終）

 

 

§２　無理方程式の解法

 

例題２　次の無理方程式を解け。

　　

【解】

　　

両辺を平方すると、

　　

さらに、両辺を平方すると、

　　

x=2のとき

　　

よって、x=2は解として不適（無縁解）。

x=7のとき

　　

よって、解はx=7である。

（解答終）

 

問題３　次の方程式を解け。

　　

【解】

（１）

　　

両辺を平方すると、

　　

x=4のとき

　　

x=15のとき

　　

よって、x=4が解である。

 

（２）

　　

両辺を平方すると、

　　

x=2のとき

　　

x=3のとき

　　

よって、解はx=2、3である。

 

（３）

　　

両辺を２乗すると、

　　　

両辺を２乗すると

　　

x=47は解として不適なので、解はx=7。

（解答終）