ベクトルの内積を使って平行四辺形の面積を求める

ベクトルの内積を使って平行四辺形の面積を求める

 

同一平面上に原点O、点A、点Bがあり、点Aの座標を(a₁,a₂）、点Bの座標を(b₁,b₂）とする。

△ABCの面積は、∠AOB=θとすると、

　　

であり、下図の平行四辺形OACBの面積Sは

　　

である。

点Aの位置ベクトル、点Bの位置ベクトルをとすると、

　　

である。

三角関数には、sin²θ+cos²θ=1という関係があるので、（２）式の両辺を２乗すると、

　　

である。

　　

だから、（３）式の根号の中は

　　

したがって、（３）式は

　　

となる。

　　

だから、２×２の行列

　　

の行列式（５）は、幾何学的には、が作る平行四辺形の符号付き面積と考えることができる。

 

そして、ベクトルとベクトルの外積は

　　

であり、（５）は外積a×bの基本ベクトルk=(0,0,1)の成分になっているのであった。

 

 

問題　次の問に答えよ。

（１）　A(2,1)、B(1,2)とし、原点をOとする。△OABの面積を求めよ。

（２）　A(5,2)、B(4,3)、C(3,1)とする。△ABCの面積を求めよ。

 

問題の（２）が出来ないとしたら、「ベクトルや図形の平行移動をまった理解していない」と言われてもしょうがない！！

チルミルが足りていないから、チルミルを飲むべきだと思うにゃ。

わからないヒトは、グラフ用紙に△OABと△ABCの絵をかくにゃ！！
と言っても、お前らは絶対に書かないので・・・。