空間曲線のベクトル方程式と接線ベクトル [多変数関数の微分]
空間曲線のベクトル方程式と接線ベクトル
空間曲線は、スカラー変数tを用いて
であらわすことができる。
曲線上の任意の点P(x,y,z)とし、とおけば、rはtの関数だから、
と書き、これを曲線ベクトル方程式という。
とすると、Δt≠0のとき
はに平行である。
したがって、
は、曲線の接線ベクトルと平行であり、これを曲線の接線ベクトルという。
また、
を単位接線ベクトルという。
単位接線ベクトルtは大きさが1で変わらないので、
したがって、tとは直交する。そこで、を曲線r(t)の法線ベクトルといい、
を主法線ベクトルという。
また、曲線上の点における単位接線ベクトルtと単位主法線ベクトルnとの外積
ベクトルを(単位)従法線ベクトルという。
曲線r=r(t)は、r'(t)が連続で常にr'(t)≠0であるとき、滑らかな曲線という。滑らかな曲線r=r(t)のa≦t≦bの部分の長さを弧長といい、弧長sは
で与えられる。
問1 の単位接線ベクトルと、単位法線ベクトルを求めよ。また、t=π/4のときの接線の方程式を求めよ。
【解】
よって、単位接線ベクトルtは
また、
よって、単位法線ベクトルnは
である。
t=π/4の接線ベクトルは
よって、接線の方程式は
tを消去し
(解答終)
t=π/4のときの、接線の法線ベクトルnは(-1/√2,1/√2)だから、接線の方程式を
と求めることもできる。
問2 曲線の0≦t≦2πの曲線の長さを求めよ。
【解】
(解答終)
曲線が弧長sをパラメータとしてr=r(s)で表されているとする。このとき、
になるので、単位接線ベクトルtは
である。
次に、平面上の曲線の曲がり具合(曲率)について考えることにする。
平面にある曲線上の点Pにおける接線とx軸のなす角をθとする。点Pが動くと接線とx軸のなす角θも変化する。このとき、単位弧長あたりのθの変化率を曲率といい、
であらわす。
【解】
tanθは接線の傾きなので、
これをxで微分すると、
また、
だから、
したがって、
(解答終)
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