円外の点より引いた接線と極線の問題

円外の点より引いた接線と極線の問題

 

問題　円x²+y²=r²の周上の点P(a,b)における接線の方程式はax+by=r²である。

（１）　円外の点Q(x₁,y₁)より、この円に２つの接線、その接点をA、Bとするとき、直線ABの方程式を求めよ。

（２）　直線ABの円外の点より、この円に２つの接線を引き、接点をそれぞれC、Dとすると、直線CDはQを通ることを示せ。

【解】

（１）　接点A、Bの座標を(a₁、b₁)、(a₂,b₂)とすると、接線の方程式は

　　

直線①、②は点Q(x₁,y₁)を通るので

　　

よって、A(a₁、b₁)とB(a₂,b₂)は直線x₁x+y₁y=r²上にある。２点を通る直線は１本だから、直線の方程式は

　　

である。

 

（２）　（１）で求めた直線x₁x+y₁y=r²上の円外の点をR(x₂,y₂）とすると、

　　

また、（１）より接点C、Dを通る直線CDの方程式は

　　

である。③より点Q(x₁,y₁)は直線x₂x+y₂y=r²上の点なので、直線CDは点Qを通る。

（解答終）

 

円x²+y²=r²の外部の点P(x₁,y₁)からこの円に２本の接線を、そのときの接点を通る直線は

　　

である。

この直線を、円x²+y²=r²の点P（極という）に関する極線という。