お前ら、この問題を解け！！（７月１５日）

ふと思ったのだけれど、お前ら、イプシロン・デルタ論法を使って、次のことを証明できるケロか？

 

問題　関数f(x)=√xとする。イプシロン・デルタ論法を使って、f(x)がx=a（a>0）で連続であることを示せ。

 

ちなみに、イプシロン・デルタ論法によるx=aにおける関数f(x)の連続の定義は次の通り。

 

任意のε>0に対して、あるδ>0をとると

　　

であるとき、関数f(x)はx=aで連続である。

 

【解】

　　

だ・か・ら、

任意のε>0に対してδを

　　

にとると、

　　

（解答終）

 

ではあるが、この証明はa=0のときには使えない。

 

では、ここで質問！！

 

宿題　イプシロン・デルタ論法を使って、関数f(x)=√xがx=0で連続であることを証明せよ。

 

上の証明を読んでしまった後だと、これは意外に難しいかもしれない(^^)

 

言っておきますが、イプシロン・デルタ論法を使って証明するんだケロよ。

たとえば、次のような証明は不可だケロ！！

 

【証明（？）】

　　

よって、x=0で連続である

（証明終）

 

実質、イプシロン・デルタ論法を使って、

　　

であることを証明しろと言っているのだから。

 

ちなにみ、関数f(x)の定義域が[a,b)であるとき、関数f(x)がx=aで連続あることのイプシロンデルタ論法による定義は次のようになるので注意。

 

任意のε>0に対して、あるδ>0があって、

　　

であるとき、f(x)はx=aで連続であるという。

ハッタリをかまして、煽ってなんぼだケロ！！