「お前ら、この問題を解け！！（６月１９日）の解答（？）」

問題　次の式で定められるxの関数（陰関数）yの極値を求めよ。

　　

【解答】

yをxの関数として、⑨の両辺をxで微分すると、

　　

極値を取る点ではy'=0（※）だから

　　

⑨と(2)式より、

　　

（１）をxで微分すると、

　　

極値を取る点ではy'=0だから

　　

よって、

のときだから、yはx=1/√3で極小で、極小値は−2/√3。

のときだから、x=−1/√3でyは極大で、極大値は2/√3。

（解答終）

 

なお、偏微分を使う場合、

とおくと、合成関数の微分法から

　　

陰関数yが極値を取る点(x,y)ではdy/dx=0だからとなって、（２）式同じものが得られる。

また、yが極値を取る点では

　　

（３）式と同じものが得られる！！

 

 

【別解（？）】

　　

よって、のときに、y²は最大になる（はず）。

ということで、試しに、2x+y=0とx²+xy+y²=1を解いてみると、

　　

この点は確かに存在し、

　　

したがって・・・(^^)）

（別解終（？））

 

危険な香りが漂っているけれど、そうなるのだから仕方がない！！

 

また、⑨式は、xとyを交換しても成り立つから、

　　

も成立する。

もちろん、

　　

と変形しても同じ結果を得ることができる。

 

 

「⑨ネコ、ちょっと待て。『お前は、極値を取る点ではy'=0だから』と、こともなげに書いているが、『⑨式で定められるxの関数y=φ(x)が極値をもつ点の条件は、φ’(x)=0となる点、または、φ(x)が微分可能でない点（＊）』だ。

つまり、⑨³が成り立たないx+2y=0とx²+xy+y²=1を同時に満たす点

　　

も極値を取る候補の点のはずだ。

なのに、⑨ネコ、お前は、ここの吟味をしていない。いいのか、そんなことで。」

 

「呼ばれもしないのに、出たな、お邪魔虫め！！

この記事を読んでいる奴らがこのことに気づくはずないから、これでいいんだよ。

俺とお前が黙っていれば、みんな、この記事を有難がって読む。そして、みんな幸せになれるんだにゃ。

だから、『寝た子を起こす』ような野暮な真似をしてはいけない。」

（＊）

関数f(x)を極大または極小にする点は、f'(x)=0か、または、f(x)が微分可能でない点かで、これ以外にない。

 

例　f(x)=｜x｜とすると、この関数f(x)はx=0で極小である。そして、この関数はx=0で微分不可能である。