数列の極限の補足

数列の極限の補足

 

のイプシロン・デルタ論法の定義は次のとおり。

任意のε>0に対して、ある自然mがあって、n>mを満たす任意の自然数nで

　　

であることである。

論理記号を用いて書くと

　　

ここで、Nは自然数すべての集まりを表す。

∀は全称記号と呼ばれるもので「任意の❍に対して」あるいは「すべての❍に対して」の意味で、∃は存在記号で「❍が存在する」くらいの意味である。

 

一般項が次式で表される数列があるとする。

　　

この数列の極限がであることはすぐにわかるだろう。
このことをイプシロン・デルタ論法（イプシロン・N論法）で証明するには次のようにすればよいだろう。

任意のε>0に対して

　　

よって、（１）式の自然数mは、ガウス記号を用いて

　　

にとれば

　　

が満たされる。

もちろん、

　　

であっても構わない。要は（２）式を満たすmでさえればよい。

例えば、ε=0.1=1/10ならば、m=10にとれば、n>mを満たすすべてのnに対して（２）式を満たす。m=11であっても、m=100であってもよく、これはそもそも１つ値に定まるものではない。

ここでガウス記号[x]は、xを越さない最小の整数で、

　　

である整数nのことである。

 

ところで、一般項が

　　

で表される数列があるとする。このとき、である。
先ほどと同じように、ε=1/10としたときのmを求めると

　　

より、m=20にとればよい。

これからわかるように、同一のεの値であっても、一般に、数列によってmは異なる。

さてさて、

　　

の証明は、任意のε>0に対して

　　

である。

この証明で、なぜ、m=max{m₁,m₂}が必要かというと、先の例のように、同一のεであっても、数列によってmの値が異なるためで、εに対して①と②を同時に満たすmをあらたに採用しないと③が成立しないため。

上の例の場合、m₁=10、m₂=20だからm=max{10,20}=20となり、n>20>10であるすべてのnについて

　　

と、自動的に満たすことになる。

 

だから、m=max{m₁,m₂}というお呪いが必要というわけ。

 

では、任意のε>0に対して、あるmがあって

　　

という証明は間違いかというと、一概に、そうとも言えない。①、②式のm₁,m₂がそれぞれ１つの値として定まるものではなく、また、mをm≧max{m₁,m₂}にとれば成り立つから。ただ、初学者に無用な混乱を与えるので、不親切な証明とされていて、このお呪いを唱えたほうがよいとされている。