近傍って何だ？

最近、ねこ騙し数学の数学の記事によく出てくる近傍って、そもそも、なんだ？

 

x、aを実数R内の点とする。ある正の実数ε>0があり、

をaのε近傍、あるいは単にaの近傍といい、記号,などであらわす。

 

関数の極限では、aのε近傍から点aを除いた穴あき近傍

が使われる。

近傍は集合だから、

と書くのは間違い。集合と集合の要素の引き算は認められないから、建前論的にいうと間違いということになるので、この点は注意してください。

 

今回やっている一連の記事を書くにあたってに、最初に、この定義を与えるのであったと、後悔している。この用語を定義しなかったために、いま、大変な事になってしまっている。

 

でも、ちょっとだけ言い訳をすると、２変数関数の偏微分をする前に、開集合や閉集合などの定義を与えなければいけないので、「そのときにまとめてやればいい」と考えていた。だから、省いた。

今回の１変数関数の極限、連続、微分の記事は、そもそも、偏微分の記事を書くためのイントロで、必要最低限の話しかするつもりはなかった。こんなに長く書くつもりはなかった。

当初の予想外の進展だから、このような事態に陥ったのはしょうがない。

 

なお、数学の教科書によっては、集合Aと集合Bの差、差集合A–B を、という記号で表しているものもあるので、この表記に従えば、点aの穴あき近傍の表記は

となる。

 

で、微分積分で点aの近傍と言ったら、「εが十分に小さい正の数の開区間(a–ε,a+ε) 」の意味。

ε=1、ε=2と言った大きな数のものではないので、この点も注意して欲しい。

 

「点aで連続な関数f(x)がf(a)>0であるならば、その近傍でf(x)>0である」といった定理を紹介した。

たとえば、

という関数があるとする。

a=1/2とすると、f(1/2)=3/4>0。

そして、ε=1としたときの点a=1/2のε近傍は(−1/2,1/2)だから、このとき、−5/4<f(x)<3/4となり、上の定理は成立しない。

だから、上の定理は、ε=1といったような大きな数の場合の話ではない。

この関数の場合、f(x)>0になるxの解は0<x<2だから、

に収まるように、0<ε<1/2を満たすεを採用しないと、上の定理は成立しない。

 

そもそも、 「その（点aの）近傍でf(x)>0である」の意味は、

である正の数εが少なくとも１つある、という意味だからね〜。このことを近傍という言葉を使って簡略に表現しているだけ。
しかも、このεは関数f(x)とaによって変わるし、そもそも、１つの値として定まるものでもないし・・・。
上の例の場合だと、0<ε<1/2であるどの数のεをとった点aの近傍でもいいから、それこそ、この近傍は無数に存在する。

 

混乱させるだけだから、これ以上の話はやめよう。

ここは、点aのε近傍のεとは、十分に小さい「ある正の数」であるということだ、と誤魔化すことにしよう。