ネムネコに死亡フラッグが！！

子供向けの科学の実験番組を見て、「ほ〜っ」と驚き、最速降下曲線の問題にちょっとチャレンジしてみた。

実際に自分で解いたことはないけれど、最速降下曲線が何であるか、この問題をどうやって解くかは知っている。

それはそれとして、
手始めに、

　　

という曲線にそって降下する時間を求めてみることにした。

かかる力は重力だけ。

落ち始める前のy座表をy₀、初速は0とする。
時刻tの速さをv、y座標をyとすると、エネルギー保存則から

　　

となる。

ここで、mは質量、vは速さ、そして、gは重力加速度g=9.80（m/sec²）。

したがって、速さは

　　

になる。

この曲線の弧の長さdsは

　　

だから、点(π,2)から原点Oに落ちるのに要する時間Tは

　　

となる。y₀=2だにゃ。

これを数値的に積分しようと思ったのだけれど、ここでハタと気づく。

x=πのとき、分母がゼロになってしまうんだケロ。
数学の大禁則、ゼロ割発生！！

ネムネコに、死亡フラッグが立つ！！
「困ったケロ」と、焦る(^^ゞ

そこは、閃き――その場の思い付きとハッタリ――のネムネコ。

閃く！！

上の式を少し整理すると

　　

となるので、x=πsinθとおき、置換積分をすれば

　　

となって、積分が可能。

そして、自作の数値積分用のスクリプト――Bloggerのアレだにゃ――でこの積分の近似値を求めたところ、

　　T=1.046578091（秒）

となった。
積分の近似計算をする中点公式は、端点x=πの時の値を使わないので計算できるのだけれど、あそこにある台形公式はx=πの時の値を使うので、置換積分しないで計算すると、ゼロ割り禁則に引っかかってしまう。シンプソン法でも同様。

何で、y=2x²/π²という少し不思議な放物線を使ったかというと、これは最速降下曲線（サイクロイド）と落下に要する時間の比較をするため。

サイクロイドの場合は

　　

直線の場合は、

　　

この場合、積分なんて野暮なものを使う必要はない！！
高校の物理の初歩的な知識を使うだけでこの値を求めることができる。

最速降下曲線を求めるには、変分などの知識が必要になるので、これを記事にする気持ちは今のところないけれど、数値計算に絡めて、そのうちに、この話をすこししようかと企んでいるにゃ。