錯角、同位角の等しい２直線は平行であることの証明

錯角、同位角の等しい２直線は平行であることの証明

中学校で習った

定理

異なる２直線l、mに直線nが交わってできる１組の錯角をα、βとするとき、

　　

である

を証明することにする。

なお、記号は直線l、mが平行であることを示す。

いきなりこの定理は証明できないので、この定理の証明に使用する第２外角定理をまず証明する。

第２外角定理

△ABCにおいてα>βである。

 

【証明】

辺ACの中点をDとし、BDの延長上にBD=DEとなる点をとる。

条件より、

　AD=DC

　BD=DE

また、

　∠ADE=∠CDB（対頂角相等）

したがって、

　△ADE≡△CDB（二辺挟角）

したがって、

　β=γ　　①

線分AEは線分ACと線分AFの間にあるので

　γ<∠CAF=α　　②

①と②より

　α>β

（証明終）

∠CBA=δとおくとき、同様に、α>δも成立する。

だから、
上の定理は、「外角はその内対角よりも大きい」と言い換えることができる。

 

定理A

異なる２直線l、mに直線nが交わってできる１組の錯角をα、βとするとき、

　

である

上の定理の証明には背理法を使う。

【証明】

α=βで、直線lと直線mが平行でないとする。

直線lと直線mは平行でないから、直線lと直線mは交わる（平行の定義）。

この交点をCとする。

△ABCを考えると、第２外角定理よりα>βとなりα=βという仮定と反する。

よって、

　

である。

（証明終）

そして、上の定理と対頂角相等から次の系が直ちに証明される。

系

異なる２直線l、mに直線nが交わってできる１組の同位角をα、γとするとき、

　

である。

【略証】

仮定よりα=γ

対頂角相等よりγ=β

よって、α=β。

したがって

　

（略証終）

ここまでは、有名な平行線の公理、すなわち、

平行線の公理

直線外の１点を通り、その直線に平行な直線は１つであって、ただ１つに限る。

を必要としていないし、使用していない。

つまり、

直線外の１点を通り、その直線に平行な直線が２本引けようが、３本引けようが、もっと多く引けようが、上の定理とその系は成り立つはずなんだにゃ。

ただし、上の定理とその系の逆、つまり、

定理

平行な２直線l、mが他の直線nに交わるとき、１組の錯角（または同位角）は等しい。

の証明には平行線公理が必要になる。

定理B

平行な２直線l、mが他の直線nに交わるとき、１組の錯角（または同位角）は等しい。

【証明】

直線lと直線mが平行で錯角α≠βとする。

α>βであるとする。

∠XAB=αの内部に∠YAB=βとなる角をとり、点A、Yを結ぶ直線l’を引く。

∠YAB=βだから、定理Aより直線l'は直線mと平行である。

しかし、

平行線の公理より、点Aを通り直線mに平行な直線は１つであるのに、直線lと直線l’の２本あることになり平行線の公理に反する。

α<βの時も同様。

したがって、α=βである。

（証明終）

直線lと直線mは平行に見えないかもしれないが(^^ゞ

コメント 3

楽しくブログを読ませて頂いております。
以前の内容で

異なる２直線l、mに直線nが交わってできる１組の錯角をα、βとするとき、

　　

である
を証明することにする。

なお、記号は直線l、mが平行であることを示す。


いきなりこの定理は証明できないので、この定理の証明に使用する第２外角定理をまず証明する。


dai2-gaikaku-teiri-01.png第２外角定理

△ABCにおいてα>βである。


【証明】


dai2-gaikaku-teiri-02.png

辺ACの中点をDとし、BDの延長上にBD=DEとなる点をとる。
条件より、

　AD=DC
　BD=DE

また、
　∠ADE=∠CDB（対頂角相等）

したがって、
　△ADE≡△CDB（二辺挟角）

したがって、
　β=γ　　①

線分AEは線分ACと線分AFの間にあるので
　γ<∠ACF=α　　②

①と②より
　α>β

（証明終）

∠CBA=δとおくとき、同様に、α>δも成立する。

だから、
上の定理は、「外角はその内対角よりも大きい」と言い換えることができる
がごさいましたが、②は∠CAFか、∠FCA
ではないのでしょうか？もし勘違いでしたらご無礼をお許しください。
又、'同様にα＞∂も成立する'とありますが、証明は何を使って、どのようにと思われているのでしようか？
教えて頂けないでしょうか？
宜しくお願い致します。
by nancy (2018-08-13 00:13) 

楽しくブログを読ませて頂いております。
以前の内容で

異なる２直線l、mに直線nが交わってできる１組の錯角をα、βとするとき、

　　

である
を証明することにする。

なお、記号は直線l、mが平行であることを示す。


いきなりこの定理は証明できないので、この定理の証明に使用する第２外角定理をまず証明する。


dai2-gaikaku-teiri-01.png第２外角定理

△ABCにおいてα>βである。


【証明】


dai2-gaikaku-teiri-02.png

辺ACの中点をDとし、BDの延長上にBD=DEとなる点をとる。
条件より、

　AD=DC
　BD=DE

また、
　∠ADE=∠CDB（対頂角相等）

したがって、
　△ADE≡△CDB（二辺挟角）

したがって、
　β=γ　　①

線分AEは線分ACと線分AFの間にあるので
　γ<∠ACF=α　　②

①と②より
　α>β

（証明終）

∠CBA=δとおくとき、同様に、α>δも成立する。

だから、
上の定理は、「外角はその内対角よりも大きい」と言い換えることができる
がごさいましたが、②は∠CAFか、∠FCA
ではないのでしょうか？もし勘違いでしたらご無礼をお許しください。
又、'同様にα＞∂も成立する'とありますが、証明は何を使って、どのようにと思われているのでしようか？
教えて頂けないでしょうか？
宜しくお願い致します。
by nancy (2018-08-13 00:50) 

コメント、ありがとうございます。

ご指摘の通り、
　∠CAFまたは∠FCA
です。
私の（書き）間違いです。

ご質問の
　α>δ
ですが、
直線CAを延長し、この延長線上に点Gをとります。（直線BAに関して、Cと反対側にGをとる）
そして、∠Bに関して第２外郭定理を使えば（あるいは同様の証明をする）、
　∠BAG＞∠B=δ
直線の角度は２直角、つまり、１８０°ですから、
　∠CAF＋∠FAG=１８０°
　∠BAG＋∠FAG=１８０°
したがって、
　∠CAF＝∠BAG＝α
よって、
　α<δ
が成立します。

なのですが、論理の構成上、
外角定理
　∠B＋∠C＝∠CAF＝∠BAG
は使えません。
これを言うためには、「２つの平行線の錯覚、同位角が等しい」という定理を必要としますので。

by nemurineko (2018-08-19 21:11)