某Q＆Aの知恵◯に寄せられていた質問の解答

私が過去に書いたベクトル解析の記事が関係しているので、質問の問題を解いてみた。

速度ベクトルvのr方向、θ方向、z方向の速度をとする。

微小体積rΔrΔθΔzに流入する水の量

　　

流出する水の量は

　　

流入した水の量と流出した水の量は、等しいので

　　

で、は高次の微小項だから無視し、rΔrΔvΔθで両辺を割ると

　　

で、Δr→0、Δθ→0、Δz→0の極限を取ると

　　

これは円柱座標での縮まない流体の連続の式になるので、

連続の式

　　

と同じものになるはずだ。

したがって、

　　

数学じゃなくて、物理や工学だから、現象の物理的な意味を考えたこうした求め方が許されるのではないか。

某Q&Aである知恵◯に寄せられていた質問の問題は、おそらく、このように解けと言っているのだと思う。

そして、これが解答のはずだ。

ちなみに、連続の式はベクトル解析を使うと次のように求められる。

　　

ここでρは密度でtは時刻。

（１）は積分形、（２）は微分形の連続の方程式。
上の解答は、密度一定のときの円柱座標の連続の方程式を微分の立場から求めたものにすぎない。

またρv=jとおけば

　　

となり、電磁気学の電荷の保存則になる。このとき、ρは電荷密度でｊは電流密度。