ネムネコ 中学の２次関数の総合問題を作るの解答例

ネムネコ　中学の２次関数の総合問題を作るの解答例

問題　２次関数y=x²と直線y=x+2がある。このとき、次の問いに答えよ。

（１）　２次関数y=x²と直線y=x+2の２つの交点の座標を求めよ。

（２）　２次関数y=x²と直線y=x+2の２つの交点のうちx座標の小さい交点を点A、大きい方を点Bとし、原点をOとする。△OABの面積を求めよ。

（３）　点Pは線分AB上にある。点Pのx座標をtとするとき、△OAPの面積Sを求めよ。また、横軸にt、縦軸にSをとり、そのグラフを書け。ただし、点PはA、Bと異なる点とする。

（４）　線分ABの流さを求めよ。

【解答例】

（１）　２次関数y=x²と直線y=x+2の交点のx座標をxとすると、

　　

したがって、交点の座標は(−1,1)、(2,4)。

（２）　y=x+2とy軸との交点をQとする。





　　

（３）　問題の条件より、−1<t<2。

点A、点Bからx軸に下ろした垂線の足をそれぞれA'、B'、点Pからx軸に下ろした垂線の足をP'とする。

AA'、PP'、そして、BB'は平行だから

　　

よって、

　　

△OAB=3、△OAP=Sだから

　　

穴あきの丸、◯は含まない。

（４）　三平方の定理より

　　

（解答終了）

【（３）の別解】

−1<t<0のとき

t=0のとき

0<t<2のとき

（別解終了）

ちなみに、△OABは∠OAB=∠Rの直角三角形。

何故ならば、直線AOの方程式はy=−xで直線の傾きは−1、直線y=x+2の直線の傾きは1で、２直線の傾きの積が(−1)×1=−1で、この２直線が直交するから。

また、

　　

と３平方の定理が成立することからもこのことが確かめられる。
そして、この結果を使うならば、△OABの面積は

　　

と求めることができる。