ネムネコ 中学の２次関数の総合問題を作る！！ 解いてミソ

ネムネコ　中学の２次関数の総合問題を作る

中学の２次関数の問題を作ってみたにゃ。

問題　２次関数y=x²と直線y=x+2がある。このとき、次の問いに答えよ。

（１）　２次関数y=x²と直線y=x+2の２つの交点の座標を求めよ。

（２）　２次関数y=x²と直線y=x+2の２つの交点のうちx座標の小さい交点を点A、大きい方を点Bとし、原点をOとする。△OABの面積を求めよ。

（３）　点Pは線分AB上にある。点Pのx座標をtとするとき、△OAPの面積Sを求めよ。また、横軸にt、縦軸にSをとり、そのグラフを書け。ただし、点PはA、Bと異なる点とする。

 

簡単な問題だろう。

解いてミソ。

オマケとして、もうひとつ、小問を追加。

（４）　線分ABの流さを求めよ。

計算が大変なものになるかどうかは、ひとえに、数学的センス、図形的・幾何学的センスに関わっていると思うにゃ。
いかに簡単に解くか、腕の見せ所だにゃ。

答えを寄せてくれたら、清書して、このブログに掲載するにゃ。
だから、頑張ってといて欲しいにゃ。

誰も寄せてくれないのはわかっているけれど(^^)

 

【解答例】

（１）　２次関数y=x²と直線y=x+2の交点の座標を(x,y)とすると、交点は２次関数y=x²と直線y=x+2にあるので、

　　

したがって、

x=−1のとき、

　　

x=2のとき

　　

よって、交点の座標は(−1,1)、(2,4)

（２）　直線y=x+2とx軸との交点をCとすると、

　　

よって、Cの座標は(−2,0)。

点A(−1,1)からx軸におろした垂線の足をDとすると、D(−1,0)。

また、点B(2,4)からx軸におろした垂線の足をEとすると、E(2,0)。

したがって、

△CBEの面積は

　　

△OCAの面積は

　　

△OBEの面積は

　　

よって、

　　

（３）　点Pのx座標をt（−1<t<2）とすると、点Pは直線y=x+2上に存在するので、点Pのy座標はy=t+2。

したがって、点Pの座標は(t,t+2)。

点Pからx軸へおろした垂線の足をHとすると、

△OCPの面積は

　　

だから、

　　

（解答終）

【別解】

（２）　三平方の定理より

　　

また、

　　

よって、

　　

となるので、△OABは∠OAB=∠Rの直角三角形。

したがって、

　　

（３）　△OAPは∠OAP=∠Rの直角三角形だから

　　

（別解終）