微分法を用いた不等式の証明 [高校の微分積分]
微分法を用いた不等式の証明
微分法を用いた不等式の証明は、例えば、f(x)>g(x)という不等式の場合、F(x)=f(x)−g(x)とし、微分法を用いてF(x)の増減を調べることが基本。
例 x²>2x−2を証明せよ。
このような問題があった場合、左辺と右辺の差をf(x)と置き、両辺をxで微分する。
よって、x=1のときf(x)は最小(極小)。
したがって、
である、ことが証明できる。
もっとも、この問題の場合、微分を使うまでもなく、
と証明することができる。
では、問題。
問題 x>0のとき、次の不等式が成り立つことを証明せよ。
【解】
(1)
とおく。
したがって、x>0でf(x)は単調増加。
よって、
また、
したがって、g'(x)はx>0で単調増加。
ゆえに、x>0でよって、g(x)はx>0で単調増加。
①、②より、
(2)
とおく。
よって、f(x)はx>0で単調増加
また、
よって、g(x)はx>0で単調増加。
①と②より、
(解答終わり)
(1)、(2)ともに、マクローリン展開(テーラー展開)を
有限項で撃ち切ったもの。
そして、(2)の
から、
という不等式が出てくる。
また、(1)の
の各辺をx=0からx=tまで積分すると、
という不等式が得られる。
図から明らかように、各辺のすべての関数が偶関数なのだから、さらに次の不等式が得られる。
なお、この不等式を得るにあたって、定積分の次の定理を使っている。
定理 f(x)、g(x)が[a,b]で連続、かつ、f(x)≧g(x)であるならば、
f=gは、fとgが同一の関数、つまり、x∈[a,b]のすべてのxに対してf(x)=g(x)である、ことをあらわしている。
宿題 x>0で
であることを利用して、
であることを証明せよ。
2016-09-18 12:00
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