第３０回 円に内接、外接する四角形

第３０回　円に内接、外接する四角形

§１　円に内接する四角形

円に内接四角形に関しては、次の定理がある。

定理　（円に内接する四角形）

四角形が円に内接するとき

（１）　対角の和は１８０°である。

（２）　外角は、その隣りあう内角の対角に等しい

【証明】

（１）　円Oに四角形ABCDが内接しているとする。
　　∠BAD=x、∠BCD=ｙとすると、円周角の定理より

　　

（２）　直線BEの角度は１８０°。よって

　　

①、②より

　　

（証明終わり）

上の定理は、逆も成り立つ。

定理　（円に内接する四角形の定理の逆）

四角形が円に内接する条件は

（１）　対角の和は１８０°である。

（２）　外角は、その隣りあう内角の対角に等しい

【証明】
（１）　四角形ABCDがあり、

　　

△ABCの外接円Oを書く。

ACに関してDと同じ側にあり、円周上にあるD’をとり、四角形ABCD’を作る。

四角形ABCD’は、円に内接するので、

　　

①、②より

　　

円周角の定理の逆より、点Dは円周上にある。

よって、四角形ABCDは円Oに内接する。

（２）　∠BCD=∠DCEとする。

　　

となり、（１）より、四角形ABCDは円に内接する。

（証明終わり）

問題１　次のx°、y°を求めよ。

【解】

四角形ABCDは円に内接。

円に内接する四角形の合う向かう角の和は１８０°だから

　　

∠ABCは

　　

外角yは隣り合う内角∠ADCの対角∠ABCに等しい。

　　

（解答終わり）

 

問題２　次のx°を求めよ。

【解】

△BCEに注目。三角形の内角と外角の関係より

　　

また、四角形ABCDは円に内接するので

　　∠CDE=∠EBC=x°

△CDFに注目。

三角形の内角の和は１８０°だから

　　

（解答終わり）

§２　円に外接する四角形

復習をかねて、円Oに円外の点Pから引いた２接線との長さについての次の定理を最提示。

定理　円O外のP点から、この円に引いた接線の長さは等しい。

【略証】

三平方の定理より

　　

（略称終わり）

次に、円に外接する四角形に関する次の定理。

定理　（円に外接する四角形）

四角形が円に外接するならば、２辺の対辺の長さは等しい。

逆も成り立つ。

【証明】

辺AB、BC、CD、DAと円Oとの接点をE、F、G、Hとする。

円外からの一点から引いた接線の長さは等しいので、

　　AE=AH、BE=BF、CF=CG、DG=DH

よって、

　　

逆の証明は、勘弁して欲しいにゃ。

 

問題３　AB=8、BC=9、周の長さが28の四角形ABCDが円に外接している。DAとCDの長さを求めよ。

【解】四角形ABCDの周の長さは

　　

四角形ABCDが円に外接しているので、

　　

よって、

　　

だから、DA=5、CD=6。

【解答終わり】