第３９回 直交軸の変換

第３９回　直交軸の変換

ここで、直交軸の変換として扱う対象は、原点を変えない、右手系の直交軸から右手系の直交軸への変換とする。

また、直交座標を表すのに、x、y、zのかわりに、x¹、x²、x³を用い、基本ベクトルの表記は、これまで使ってきたi、j、kではなく、e₁、e₂、e₃を用いる。ベクトルvの成分はではなく、v₁、v₂、v₃であらわすことにする。

（注意）x、e、vの上下についている数字１、２、３を指標という。x¹、x²、x³は、xの１乗、２乗、３乗の意味ではないので、注意！！

直交軸Ox¹、Ox²、Ox³を他の直交軸Ox’¹、Ox’²、Ox’³に変える場合を考える。

このとき、x¹軸、x²軸、x³軸に対する基本ベクトルをe₁、e₂、e₃とし、x’¹軸、x’²軸、x’³軸に対する基本ベクトルをe’₁、e’₂、e’₃とする。さらに、点Pのx¹軸、x²軸、x³軸に対する座標をx¹、x²、x³とし、x’¹軸、x’²軸、x’³軸に対する座標をx’¹、x’²、x’³とする。x¹軸、x²軸、x³軸に対するx’¹軸、x’²軸、x’³軸の方向余弦、つまり、e’₁、e’₂、e’₃の方向余弦は、それぞれ次のようになる。

　　

逆に、x’¹軸、x’²軸、x’³軸に対するx¹軸、x²軸、x³軸の方向余弦、つまり、e₁、e₂、e₃の方向余弦は

　　

となる。

上と下の指標が逆になっているので注意が必要。

ということで、

　　

また、

　　

となる。

なのだけれど、実は（１）から（２）を、（２）から（１）を直接導くことができる。やってみるにゃ。

　　

で、e’₁のx¹軸、x²軸、x³軸に対する方向余弦をl₁、m₁、n₁と書くことにする。そうすると、

　　

よって、

　　

だから、

　　

となり、

　　

同様に、

　　

となる。

以降、（１）と（２）のように、いちいち、成分に分けて書くのは面倒なので、

　　

とまとめて書くことにする。

さらに、直交軸が（１）のように変換されるとき、点の座標の変化を調べることにする。

点Pのx¹軸、x²軸、x³軸に対する座標をx¹、x²、x³、また、x’¹軸、x²軸、x’³軸に対する座標をx’¹、x’²、x’³とする。

　　

もう一度言うけれど、x¹、x²、x³はxの１乗、２乗、３乗の意味ではない！！

（３）式から

　　

また、

　　

だから、

　　

つまり、

　　

となる。

iやjという指標のローマ字には特に意味はないので、（４）のiとjを入れ替えて、

　　

とする。

　――このあたりは融通無碍というか、首尾一貫していないと言おうか――

なのですが、⑨よりは行列を使った方がわかりやすいだろうから、行列を使って書くと、

　　

となる。

これからだいたい推測がつくだろうけれど、

　　

となる。

そして、

　　

が成立するので、

　　

になるのであった。

同様に、
　　
になるのであった。