第３８回 これまでのやり残し

第３８回　これまでのやり残し

前回、球座標（３次元の極座標）のh₁、h₂、h₃を計算することなく、h₁=1、h₂=r、h₃=rsinθとなることを使ったので、まずは、このことから取り上げることにします。

球座標の場合は、u=r、v=θ、w=φになることに注意する。そして、直交座標と球座標には次の関係がある。

　　

ということで、あとは、ただの偏微分の計算になる。

　　

さらに、

　　

そして、

　　

となる。

この計算では、三角関数の

　　

を使っている。

また、

ベクトルAのu、v、wの成分と直交軸に関するには次の関係がある。

これを使って、次の問題を解くことにする。

問題　速度および加速度の円柱座標に関する成分は次のようになることを示せ。

　　

ただし、tについての微分を

　　

とあらわすことにする。
【解】

円柱座標だから

　　

円柱座標のh₁、h₂、h₃はh₁=1、h₂=r、h₃=1。

zについては、そのままだから、計算を改めてする必要はない。

　　

になる。

　　

になるので、

　　

でだ、

　　

を真面目に計算し、この結果を

　　

に代入し、真面目に計算すれば、

　　

になる。