重積分の問題演習2 [重積分]
重積分の問題演習2
数学の記事を何も書かないのはよくない。
ということで、つなぎ記事を上げることにした。
問題 次のことを示すケロ。
(1)f(x,y)が[0,1]で級であるならば、
(2)fが連続な偶関数ならば
【解】
(1)は、だから、極座標x=rcosθ、y=rsinθで積分してくださいと言っているようなもの。
で、極座標によって積分領域はから[0,1]×[0,2π]に変わるので、
となる。
(2)これは、x–y=u、x+y=vとおくにゃ、そして、xとyについて解くと、
だから、[0,1]×[0,1]という領域は
となる。
この(u,v)の領域を図示すると次のようになる。
また、
だから、ヤコビアンJは
となる。
とすると、
よって、
(2)の変換も、数学のいろいろなところで出てくる変換なので、覚えておくと便利かもしれない。
ひとこと付け加えると、こういう領域は必ず図示して考えるように。
面倒臭がってこの作業を怠ると、とんでもない計算をすることになるかもしれない。
「百聞は一見に如かず」です。
2016-02-08 14:56
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