第１６回 曲面積

第１６回　曲面積

曲面積

定理（曲面積）

関数z=f(x,y)が積分領域D上で級とする。このとき、Dの上にある曲線z=f(y)の曲面積は

　　

である。

【証明】

Dをx軸に平行な直線とｙ軸に平行な直線で分割する。D上の内部に含まれる小長方形の一つを[x,x+Δx]×[y,y+Δy]とし、その頂点を

　　

とする。

さらにD上のに対応する曲面z=f(x,y)上の点をとし、この微小部分の面積をΔSとする。

で、の接平面を考え、に対応する接平面上の点をとする。そうすると、

　　

になる。

Δx、Δyが十分に小さければ、この微小な面積ΔSは平行四辺形で近似できるので

　　

となる。

この微小面積ΔSをD上のすべての分割について足しあわせば

　　

になり、この極限をとれば

　　

（証明終わり？）

ちなみに、どこからが出てくるかというと、

　　

から。

あと、平行四辺形の面積Sは

　　

になるという公式を使っている。これは重積分の座標変換のところで話をしたよね。

なにぶん根号を含む積分なので、曲面積の計算は非常に厄介。

限られた極々簡単なものしか計算できないと思って間違いがない(^^ゞ

問題１　回転放物面のz≧0の部分の曲面積を求めよ。

【解】

となるので、

　　

そして、積分領域Dは

　　
よって、曲面積Sは

　　

Dを極座標、x=rcosθ、y=rsinθで変換すると

　　

よって、

　　

回転体の側面積

回転体の場合には、次の定理が成り立つ。

定理（回転体の側面積）
区間[a,b]において関数f(x)は級でf(x)≧0であるとする。このとき、関数f(x)とｘ軸および直線x=a、x=bで囲まれた図形をx軸のまわりで１回転して得られる回転体の側面積は、

　　

である。

【証明】

回転体をあらわす方程式は

　　

よって、領域Dは

　　

⑨をxで偏微分すると、

　　

⑨をyで偏微分すると

　　

これを代入すると、

　　　　

よって、

　　

となる。

問題２　y=sin(x)(0≦x≦π)をx軸に１回転して得られる回転体の表面積Sを求めよ。

【解】

　　

t=cosxとし、置換積分を使うと