第１２回 ２重積分の面積への応用

第１２回　２重積分の面積への応用

２重積分のところで少し触れたのですが、実は

　　
という２重積分は、集合Dの面積なんだケロ。

１変数の積分のところでやったけれど、x=a、x=b、そして、y=f(x)、y=g(x)とで囲まれる面積は、

　　

また、
　　

となるので、
２重積分を使うと、

　　

そして、縦線集合Dを次のように定義すると、

　　

①は

　　

になるというわけ。

それでは、早速問題を解いてみよう。

問題１　次の図形の面積を求めよ。

　　

【解】

これは原点を中心とする半径aの面積だね。

この領域Dは

　　

これを

　　

として計算してもいいけれど、これは計算が面倒（？）なので、極座標変換するケロ。そうすると、

　　

になる。よって

　　

こちらのほうが計算はずっと楽だケロ。


問題２　と2y–x–4=0で囲まれた領域の面積を求めよ。

【解】

この領域Dを縦線集合で書くと、

　　

よって、面積は

　　

かえって難しくしている話もあるが(^^ゞ

しかし、こういう問題になると、話が変わってくる。

問題３　r=1–cosθで囲む面積を求めよ。

【解】

　　

なので、

　　
　　

ちなみに、これは次のような図になるにゃ。



この図形の面積を１変数の積分の範囲で求められないのかといえば、できないことはないけれど・・・。