第５５回 ∫(sinz/z)dzを求めるにゃ

第５５回　∫(sinz/z)dzを求めるにゃ。

さて、いよいよ、

　　

の値を求める時が来た。

その前に、復習をかねて、前回証明した定理を再掲。

ジョルダンの補助定理

f(z)をで連続な関数とし

　　
M(r)を上の｜f(z)｜の最大値とする。

もし、r→+∞のときにM(r)→0ならば

　　

となる。

定理

関数f(z)がを１位の極として持つとき

　　
とすれば、

　　

が成り立つ。

ただし、積分はにそってに関して正方向に行なう。

さて、

　　

だから、

　　

となる。

iは。

まず、図のような積分路に沿って、を積分する。

―――前回、この計算は記憶ものと書いた。何故、この関数を積分するなんて考えちゃ〜いけない(^^ゞ―――

は閉曲線Cの周上とその内部で正則なので

　　

となる。

で、右辺第１項の積分は前回やったジョルダンの補助定理より

　　

となる。

何故ならば、f(z)=1/zとすると、の半円周上でこの関数の値はで、円周上におけるこの関数の絶対値の最大値M(R)=1/Rとなり、R→∞の時M(R)→0になるから。

ε→０の時の右辺第３項の積分の値は、２番目の定理から

　　

となる。

さらに、

　　

よって、

　　

となり、R→∞、r→0とすれば、

　　

こんな技巧的な方法なんて凡人は思いつかないにゃ。

だ・か・ら、凡人は、テスト対策として、これを丸覚えするしかない(^^ゞ

これで長かった複素解析は終わりだケロ。

複素解析は人気がなかったみたい。不評だったみたいだ。理系の人間ですら忌み嫌われる分野だからしょうがない。

コメント 2

うへんだいさんこうのせきぶんってまいなすあいぱいなのでは？
by きくち (2016-11-13 18:48) 

こんばんは。

確かに、−πiですね。
わたしの書き間違いです。

間違いのご指摘、ふかく感謝いたします。
そして、修正いたしました。


by nemurineko (2016-11-14 20:02)