第55回 ∫(sinz/z)dzを求めるにゃ [複素解析]
第55回 ∫(sinz/z)dzを求めるにゃ。
さて、いよいよ、
の値を求める時が来た。
その前に、復習をかねて、前回証明した定理を再掲。
ジョルダンの補助定理
f(z)を
で連続な関数とし
M(r)を上の|f(z)|の最大値とする。
もし、r→+∞のときにM(r)→0ならば
となる。
定理
関数f(z)が
を1位の極として持つとき
とすれば、
が成り立つ。
ただし、積分は
にそって
に関して正方向に行なう。
さて、
だから、
となる。
iは。
まず、図のような積分路に沿って、を積分する。
―――前回、この計算は記憶ものと書いた。何故、この関数を積分するなんて考えちゃ〜いけない(^^ゞ―――
は閉曲線Cの周上とその内部で正則なので
となる。
で、右辺第1項の積分は前回やったジョルダンの補助定理より
となる。
何故ならば、f(z)=1/zとすると、の半円周上でこの関数の値は
で、円周上におけるこの関数の絶対値の最大値M(R)=1/Rとなり、R→∞の時M(R)→0になるから。
ε→0の時の右辺第3項の積分の値は、2番目の定理から
となる。
さらに、
よって、
となり、R→∞、r→0とすれば、
こんな技巧的な方法なんて凡人は思いつかないにゃ。
だ・か・ら、凡人は、テスト対策として、これを丸覚えするしかない(^^ゞ
これで長かった複素解析は終わりだケロ。
複素解析は人気がなかったみたい。不評だったみたいだ。理系の人間ですら忌み嫌われる分野だからしょうがない。
2016-01-15 12:00
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うへんだいさんこうのせきぶんってまいなすあいぱいなのでは?
by きくち (2016-11-13 18:48)
こんばんは。
確かに、−πiですね。
わたしの書き間違いです。
間違いのご指摘、ふかく感謝いたします。
そして、修正いたしました。
by nemurineko (2016-11-14 20:02)