二次方程式と二次関数 [微分積分]
ねこ騙し数学 番外編 二次方程式と二次関数
二次方程式
二次方程式の基本になるのは、
A・B = 0 ⇔ 「A = 0 または B = 0」
ですにゃ。
これはほとんど明らかでしょう。
だ・か・ら、
という二次方程式は因数分解を利用して、
として求めることができるケロ。
また、二次方程式の一般形は、
ですにゃ。
一般に二次方程式の解は二つなので、それをα、βとすれば、
となるので、
係数を比較すると、
となり、
となりますにゃ。
これが、二次方程式の解と係数の関係と呼ばれるものですにゃ。
最初に例を挙げた
の解は、x = 2、x = 3なので、α = 2、β = 3とすれば、
2 + 3 = 5
2 ×3 = 6
となり、
一方、a = 1, b = – 5, c = 6となるので、
この解と係数の関係を満たしていることが分かりますにゃ。
で、α = βのとき、重根や重解と呼ぶケロ。
でも、因数分解が簡単にできない場合がある。たとえば、
こういうときに役に立つのが平方完成という手法。
一般的な場合、つまり、
平方完成は後にやりますが、それを使うと――議論を簡単にするためにa>0とする――
この結果、
が二次方程式の解の公式と呼ばれるもの。
この時、
根号、「√」の中が負のとき、解は虚数になり、非負のとき実数解になるケロ。
さらに、根号の中が０のとき、重根や重解になる。
この根号の中、
とおくと、
D > 0 相異なる実数解（解が二つ）
D = 0 重解・重根
D < 0 虚数解（相異なる二つの虚数解）
と判別できる。
このＤのことを二次方程式の判別式と呼んだりしますにゃ。
この解の公式を使うと、
となる。
そして、当然のことながら、これは解と係数の関係を満たすにゃ。
二次不等式
二次不等式の基本になるのは、
A・B > 0 ⇔ 「A > 0 かつ B > 0」または「A < 0 かつB < 0」 ①
にゃ。
とすると、この不等式を満たすｘは、①より
か
になるよね。
上の場合は、
になるんだけれど、α<βだから、
x > β
になる。
下の場合は、
になるけれど、α < βだから、
x < α
となる。
だから、
を満たすｘ の解は、
「x < α」または「x > β」
になる。
対して、
は、
を否定したものだから、
α ≦ x ≦ β
になる。
等号「＝」を取れば、
の解は、
α < x < β
となる。
で、α = βの場合は、
になる。
は解なし。実数を二乗したものはゼロ以上だから、このような実数はない。このことは、
α < x < α
よりも明らか。こんな実数ｘは存在しない。
この結果をまとめると、
二次方程式
a > 0 のとき
となる。
で、a < 0のときは、不等号の向きが変わるので、注意が必要ね。
ちなみに、
a > 0 で Ｄ ≦ 0 のとき、全ての実数ｘに対して
になる。
平方完成のところに戻って欲しいんだけれど、
a > 0, D ≦ 0
実数の二乗はゼロ以上だから、こうなるよね。
記号「∨」は「または」、「∧」は「かつ」の意味ね。
二次関数と二次方程式（二次不等式）
二次関数の一般形は、
だよね。
ここでも、大活躍するのが、二次方程式の解の公式を求める過程で使った、平方完成。
途中まで解の公式と同じなので省略するけれど、
a > 0で、この関数の定義域が実数全域ならば、
a, b, cは定数なので、上の式の()^2の中がゼロになるとき、
この関数の値は一番小さくなるよね。
つまり、
が最小値になる。
逆に、a < 0ならば、
が最大値となる。
で、この点は、二次関数、放物線の頂点であり、
この関数はx = –b/(2a) に対して左右対称になっていて、放物線や二次関数の軸と呼ばれたりする。
で、解と係数の関係
だから、軸は
となって、真ん中の点、中点になる。
でだよ、a > 0のとき、
D < 0ならば、最小値は、-D/(4a)なのだから、y = f(x) > 0 になるよね。
つまり、
この条件では、y = f(x) = 0を満たす実数は存在しない。つまり、f(x) = 0という方程式の解は無い。
対して、D = 0のとき、f(x) = 0を満たすのは、
のみで、重解（重根）となる。
で、D < 0のときは、相異なる２つの解となる。
このことは、次の図を見ると分かると思います。
黒線がD > 0、赤い線がD = 0, 青い線がD < 0 の場合。放物線がｘ軸と交わるところのｘ座標が二次方程式の解ね。
ということで、aの正負と頂点の位置関係から、図形的に解の個数を判定することができる。
a > 0のときに、
になることも理解しやすいと思います。
二次関数のグラフ、図形的に理解したほうが、二次不等式は理解しやすいし、間違いにくいと思う。
せっかく微分をやったんだから、微分を使うと、
となる。
極値を取るところではy' = 0 だから、
となる。
で、
a > 0 ならば、y'' > 0なので、この時に極小（最小）、
a < 0 ならば、y'' < 0なので、極大（最大）となる。
微分を知っているんだから、平方完成なんて面倒臭いことをしないで、この結果を使えば一発で出てくる（ポリポリ）。
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