第55回 関数項級数
空間Iで定義された関数列
は収束するという。
関数列
で表す。
すなわち、任意のε>0と任意のx∈Iに対して、ある自然数
さらに、コーシーの収束定理より、次の定理を得る。
定理1 (コーシーの収束定理)
区間Iで定義された関数
任意のε>0に対し、ある自然数
が成り立つことである。
さらに、関数項級数も関数列なので、関数列と同様に、一様収束を定義することができる。
定義 (関数項級数の一様収束)
区間Iで定義された関数
すなわち、
任意のε>0に対し、xに無関係な自然数
定理2 (ワイエルシュトラスの判定法)
次の条件を満たす正項級数
【証明】
正項級数
また、条件より、任意のx∈Iと任意の自然nに対してが成り立つので、
よって、
(証明終)
問1 次の関数項級数が実数全体の集合
【解】
(1) すべての自然数nと実数nに関して
だから、
(2) すべての自然数nと実数xに関して
(解答終)
任意の自然数nに対して
定理3 (関数項級数の連続)
I上の連続関数列
問2 I=[−1,1]のとき、
【解】
x=0のとき、任意のnに対して、
x≠0のとき、初項x²、公比
したがって、
極限関数が連続でないので、一様収束でない。
(解答終)
定理4 (項別積分)
I=[a,b]上の連続関数列
問3 次の関係が成り立つことを示せ。
【解】
問1より、
(解答終)
定理5 (項別微分)
I上でC¹である関数列