数列の極限その２


 


 


§２　部分列


 


φをからへの狭義単調増加関数（n₁<n₂ならばφ(n₁)<φ(n₂))とする。数列が与えられたとき、数列を数列の部分列という。


 


定理８　（部分列の収束）


収束する数列の部分列はの極限値に収束する。


すなわち、


　　


【証明】


数列の極限値をαとすると、任意の正数εに対して、ある自然数Nがあって、


　　


である。


φ(n)≧nなので、


　　


よって、収束する数列の部分列はの極限値に収束する。


（証明終）


 


定理９　（Boltano-Weiestrassの定理）


有界な数列は、収束する部分列をもつ。


【証明】


数列は有界とすると、ある実数m₁とM₁が存在し、


　　


である。


ここで、


　　


とおくと、閉区間[m₁,c₁]、[c₁,M₁]を作ると、少なくともどちらか一方に無数のが存在する。


もし、[m₁,c₁]に無数のが存在すれば、


　　


そうでないとき、


　　


と置く。


以下、同様な操作をし、


　　


とすると、を構成する。


すると、


　　


であるから、


　　


したがって、とおくと、カントールの区間縮小法（定理７）を満たしており、ある実数cが存在し、


　　


各区間には無数のの項が含まれていたから、自然数を項とする狭義単調増加数列を、各自然数kに対して


　　


となるように選ぶことができる。


このとき、


　　


であるから、ハサミ打ちの定理より


　　


（証明終）


 


 


§３　コーシー列


 


数列が任意の正数εに対して、ある自然数Nが存在し、n≧N、m≧Nを満たす任意の自然数m、nに対して


　　


が成り立つとき、はコーシー列であるという。


 


定理１０　（コーシー列の有界性）


コーシー列は有界である。


【証明】


数列はコーシー列であるとする。ε=1とすれば、ある自然数Nが存在し、


　　


となる。


m=Nとすると、


　　


となるから、


　　


そこで、


　　


とおけば、任意の自然数nに対して、


　　


よって、数列は有界である。


（証明終）


 


定理１１　（コーシーの収束条件）


数列が収束するための必要十分条件は、コーシー列であることである。


【証明】


数列が実数αに収束するとする。


任意の正数εに対して、ある自然数Nがあって、


　　


が成り立つ。


したがって、m≧N、n≧Nならば、


　　


となり、はコーシー列である。


逆に、がコーシー列であるとする。


数列は、コーシー列なので有界だからBoltzano-Weirstrassの定理より、収束する部分列をもつ。


ε>0を任意の正数とする。はコーシー列なので、ある自然数N₁が存在して、


　　


が成立する。


また、ある自然数Kが存在して、


　　


が成り立つ。


ここで、自然数k₀をk₀≧Kかつを満たすように１つに固定し、N=N₁とおけば、


　　


よって、はαに収束する。


（証明終）