第４７回 定積分の近似計算 その１
§１ 矩形公式
f(x)は[a,b]で連続とするとき、定積分
または
と近似する方法を矩形法、または、矩形公式と呼ぶ。
f(x)が[a,b]でC¹級であるとき、定積分
【証明】
部分積分と、x−a≧0、b−x≧0なので、定積分の第１平均値の定理より
したがって、
（証明終）
定積分の近似値を求めるとき、矩形公式がそのまま用いられることはなく、
とし、閉区間[a,b]を
特に、[a,b]をn個の小区間に等分割した場合、すなわち、
のとき、（３）、（４）式は次のようになる。
問 [0,1]を４等分し、（複号）矩形を用いて
【解】
したがって、
（解答終）
（参考）
なお、複号矩形公式の誤差は、
とおくと、
で与えられる。
【証明】
ここで、
とおくと、
（証明終）
となるので、分割数を１０倍にすれば（複号）矩形公式の誤差は約1/10になる。
右の図は、
分割数を１０倍にすると、誤差が1/10になっていることがわかる。
§２ 台形公式
f(x)は[a,b]で連続とするとき、定積分
と近似する方法を台形則、台形公式という。
【証明】
また、x∈[a,b]において、(b−x)(x−a)≧0なので、積分の第一平均値の定理より
これを代入すると、
（証明終）
閉区間[a,b]をn等分し、
とおき、各区間
となるので、
と置いたとき
で与えられる。
したがって、[a,b]をn等分すると、
となるので、分割数nを１０倍にすると、台形公式の誤差はおよそ1/10²になる。
右の図は、台形公式を用いて
を（近似）計算した結果を、横軸に分割数、縦軸に誤差をとり表したものである。
分割数を１０倍にすると、誤差が約1/100になっていることがわかる。
また、複号台形公式と複号矩形公式の間には
という関係が成立する。
問 [0,1]を４等分し、台形公式を用いて
【解】
したがって、
（解答終）
【別解】
§１の問より、
だから、
（別解終）