第４０回 積分と不等式 その１
定理 f(x)、g(x)は有界閉区間[a,b]において連続、かつ、f(x)≦g(x)ならば、
である。
さらに、f(ξ)<g(ξ)であるξ∈[a,b]が存在すれば、
この定理から、
a<x<bでf(x)<g(x)ならば、次のことが成立する。
問題１ 次の不等式を証明せよ。
【解】
（１） 0<x<1/2で
したがって、
（２） 0<x<π/4で0<sin x < xだから、
よって、
（３） 0<x<π/2で
したがって、
ところで、
（解答終）
問題２
（１） すべての正の数xに対して
であることを示せ。
（２） 閉区間[0,1]で正の値をとる連続関数f(x)が条件
であることを示せ。
【解】
（１）
増減表を書くと
x | 0 | ・・・ | 1 | ・・・ | ||||||
f'(x) |
| − | 0 | + | ||||||
f(x) |
| 減少 | 極小 | 増加 | ||||||
したがって、
（２） [0,1]でf(x)>0だから、（１）より
よって、
（解答終）
問題３ 積分を使って次の不等式を示せ。
【解】
（１） 0<t<xとすると、
よって
したがって、
（２） x>1とすると、任意のt∈(1,x)に対して
したがって
0<x<1のとき、1/x>1だから、
x=1のとき、等号が成立するので、
（解答終）
問題４ 積分を用いて、次の不等式が成り立つことを示せ。
【解】
x>0とする。
n=1のとき、
n=kのとき
が成り立つと仮定すると、
n=k+1のとき
したがって、数学的帰納法より
（解答終）