第３４回 定積分
§１ 積分の定義
f(x)は有界な閉区間[a,b]で定義されている有界な関数である。
分割
に対し、次の和（リーマン和）を考える。
任意の分割Δに関して、
となる実数Sが存在するとき、f(x)は[a,b]で（リーマン）積分可能であるといい、
で表す。
すなわち、
ここで、
また、
a<bのとき、
と定義する。
さらに、a=bのとき、すなわち、
と定義する。
例１ cを定数とするとき、
は、[a,b]で積分可能で、
何故ならば、
である全ての分割に関して、
例２
である。
任意の分割Δに関して、
に取ると、
また、任意の
したがって、
例３ a<c<bとし、
とすると、f(x)は[a,b]で積分可能で、
分割
で、点cを含む区間の数が最も多くなるのは、
任意の
例４
は、[a,b]で（リーマン）積分可能でない。
何故ならば、
有理数の点をとれば、
となるので。
§２ 定積分の基本的な性質
定理１ 有界閉区間I=[a,b]上でf(x)、g(x)は積分可能で、λ、μを定数とするとき、
【証明】
分割Δ、
したがって、
（証明終）
定理２ 関数f(x)、g(x)はI=[a,b]上で積分可能とする。
ならば、
特に、
【証明】
Iの分割Δ、
したがって、
｜Δ｜→0とすると、
（証明終）
（注） 例２から、
は、一般に成り立たないことがわかる。
次の２つの定理の証明は、すこし、厄介なので、定理だけをあげる。
定理３ f(x)は[a,b]で積分可能ならば、
定理４ f(x)が[a,b]で単調または連続であれば、f(x)は[a,b]で積分可能である。
定理５ f(x)、g(x)が[a,b]で連続ならば、
は、[a,b]で積分可能である。
【略証】
f(x)、g(x)が[a,b]で連続ならば、
（略証終）
問１ f(x)、g(x)は[a,b]で連続な関数とする。
このとき、
は[a,b]で積分可能であることを示せ。
【解】
f(x)、g(x)が[a,b]で連続だから、
したがって、
（解答終）
定理６
f(x)は[a,b]で連続とする。任意のx∈[a,b]についてf(x)≧0、かつ、
【証明】
f(c)>0であるcがa<c<bに存在すると、f(x)は連続なので、十分ちいさなδ>0を選ぶと、
とすることができる。
となり矛盾。
よって、f(x)≡0。
（証明終）
問２ f(x)、g(x)は[a,b]で連続である。[a,b]でf(x)≧g(x)かつ
【解」
h(x)=f(x)−g(x)とおくと、h(x)は[a,b]で連続なので、h(x)は[a,b]で積分可能。
また、[a,b]でh(x)≧0で、かつ、
したがって、定理６よりh(x)は[a,b]で恒等的にh(x)=0。
ゆえに、f=g。
（解答終）
定理７（積分の三角不等式）
f(x)が[a,b]で連続ならば、
【証明】
f(x)は[a,b]で連続なので、f(x)と｜f(x)｜は[a,b]で積分可能。
分割Δ、
したがって、
（証明終）
【別証」
だから
（別証終）