第３３回 無理関数の不定積分

第３３回　無理関数の不定積分

 

被積分関数が無理関数を含む場合、適当な変数変換をすると、不定積分を求めることができる場合がある。

 

定理１

R(x,y)がxとyの有理関数ならば、はとおくと、有理関数の積分に帰着できる。

 

問１　次の不定期分を求めよ。

【解】

（１）　t=√xと置き、両辺を２乗すると、x=t²。したがって、dx=2tdt。

よって、

　　

 

（２）　とおき、両辺を３乗してxについて解くと

　　

ゆえに、

　　

 

 

（２）　とおき、両辺を２乗し、xについて解くと

　　

したがって、

　　

よって、

　　

（解答終）

 

 

定理２

R(x,y)がxとyの有理関数ならば、は次の変換によって有理関数の積分に帰着する。

（１）　a>0のとき、

（２）　のとき、

　　

 

問２　次の不定積分を求めよ。

【解】

（１）　とおくと、

　　

両辺を２乗してxについて解くと、

　　

ゆえに

　　

 

（２）　とおくと

　　

両辺を２乗してxについて解くと

　　

したがって、

　　

ゆえに

　　

 

（３）　だから、

　　

とおき、この両辺を２乗すると、

　　

よって、

　　

ゆえに

　　

（解答終）

 

問３　次の問に答えよ。

（１）　次の不定積分を求めよ。

　　

（２）　（１）の結果を利用して、次の不定積分を求めよ。

　　

【解】

（１）

　　

 

（２）

　　

t=x+1/2とおくとdx=dtだから

　　

 （解答終）