第２３回 関数の近似式
§１ １次の近似式
関数f(x)が点aで微分可能ならば、(a,f(a))における接線は
であり、点xがaの近くであれば、f(x)の値は
と近似することができる。
したがって、x−a=hとおくと、x=a+hだから、|h|が十分小さいとき
が成り立ち、（１）の右辺を１次の近似式という。
f(x)が２回微分可能ならば、拡張された平均値の定理（第１６回の定理６）より、
となるので、f(a+h)を（１）式で近似した誤差は次のように評価することができる。
特に、（１）において、a=0、h=xとおけば、次の近似式を得る。
この近似式（２）の誤差は
であるが、｜x｜が十分に小さいので、おおよそ
の程度である。
だから、②式より
特に、α=−1、α=1/2とすると、
問１ 次の近似を求めよ。
【解】
（解答終）
問２
【解】
32²=1024だから、
また、
とおくと、
よって、誤差は
の程度で、小数点４桁目を切り上げて、0.003。
したがって、
（解答終）
問３ kの絶対値が十分小さいとき、(x−1)(x−2)(x−3)=kは、それぞれ、1、2、3に近い実数解をもつ。このことを既知として３つの実数解の近似値をhの１次式として表わせ。
とする。
１に近い解をα=1+hとすると、
｜h｜≪1なので、hの２次以上の項を無視すると、
２に近い解をβ=2+hとすると、同様に
３に近い解をγ=3+hとすると、
したがって、
（解答終）
【別解】
とおくと、
1の近い解を1+hとすると、
1+hはf(x)=0の解なのでf(1+h)=0。
よって、
２に近い解を2+hとすると、
2+hはf(x)=0の解なのでf(2+h)=0。
よって、
３の近い解を3+hとすると、
3+hはf(x)=0の解なのでf(3+h)=0。
よって、
したがって、
（解答終）
h=1/10のとき、上の方程式の解（の近似値）は1.0544、1.8990、3.0467なので、上で求めた解の近似解とよく一致していることがわかる。
関数f(x)がx=aで２回微分が可能であるとし、点P(a,f(a))で共通の接線を有し、さらに２次微分係数f''(a)が等しい放物線を
とおくと
x=aでf(a)=g(a)、f'(a)=g'(a)、f''(a)=g''(a)であるから
したがって
点Pの近くでは、g(x)はf(x)に近接しているから、x≒aでは
とみなすことが可能で、x=a+hとおけば
という２次の近似式が得られる。
また、（４）式は、
拡張された平均値の定理より
｜h｜が十分に小さいとき
なので、
と導くこともできる。
（４）式から（１）の誤差がほぼ
また、（４）式においてa=0、x=hととおけば、次の２次の近似式を得る。
だから、
α=−1、α=1/2のとき
という２次の近似式を得ることができる。
問４ xが３に近いとき、次の式の近似式を求めよ。
【解】
とおくと、
ゆえに、
したがって、１次の近似式は
２次の近似式は
（解答終）
となるので、
とおくと、
xが３に近いとき、tは０に近いので
α=−1/2とおき、（６）を用いると、
よって、
と計算することもできる。
f(x)がn回微分可能であるとき、
f(a+h)をn次式で近似する場合、第１５回の問３の結果を用いると、
a=0のとき、h=xとおくと、
下の図は、y=sinxを１次、３次、５次式で近似したものだが、一般に近似式の次数を高くすれば高くするほど、近似式とよく一致するようになる。