「３次関数と変曲点」という記事で、つぎのようなコメントをいただいたので、補足説明をすることにする。
もう一度コメントお許しを
私がはまったのは
y = f(x)
の (α, β) 平行移動後の方程式は
y - β = f(x - α)
はみんな知ってるんですが、この逆なんですよね。
要するに「平行移動したグラフを元に戻す」には
(x + α, y + β)
と、足さなきゃならんと。
だからクソ暗記で「引いたものを代入」なんてやらず
ちゃんと考えなきゃダメってことですね。
この動画の問３と似たような勘違い！？
何気に似ているから、よく、間違えるにゃ。
また、この同一平面上に点O'があり、O-xy座標系における（α、β）とする。
さてさて、点Pをそのままにして、O−xy座標系を
という、O−xy座標系からO'−XY座標系への座標変換による点Pの成分変換の関係が得られる。
（右図参照）
また、この（１）式から〈X,Y〉から(x,y)への
という点Pの成分変換の式を得ることができる。
そして、この（２）式から得られたx=X+α、y=Y+βを曲線y=f(x)に代入すると、
となり、これが曲線y=f(x)の新しいO'−XY座標系における曲線の方程式ということになる。
この場合、新たな座標系を設定しただけで、平面上の点は、一切、動かないので、くれぐれも注意するにゃ。
ベクトルを使って、x軸の正の向きの単位ベクトル、y軸の正の向きの単位ベクトルをそれぞれ
である。
で、X軸、Y軸の正の向きの単位ベクトルを
このXとYをO'-XY座標系のX成分、Y成分とする。
X軸とx軸、Y軸とy軸は平行なので、
よって、
とか何とか書いたほうがいいのかもしれないけれど・・・。
ところで、O−xy座標系を原点Oを中心に反時計まわりにθ回転させた、回転座標系O−x'y'では、成分変換の式はどうなるケロか。
いま、高校では行列を習わないけれど、
一次変換の知識を元に
などとしたら間違いだにゃ。
だって、１次変換は、平面上の点すべてが原点Oを中心に半時計回りにθ回転するんだから。
座標変換とは、似て非なるものだにゃ。
「お前らにヤレ！」と言っても絶対にやらないから、ヒントを出してやるにゃ。
x’軸の正の方向の単位ベクトル
y'軸の正の方向の単位ベクトル
だケロ。（なぜ、①、②式のようになる？）
したがって、
①と②を③の右辺に代入すればx、yとx'、y'の関係式が得られ、これをx'、y'について解けばよい。
すると、たぶん
となるはず。
これを行列で表すと、
したがって、・・・・
２×２の行列の演算を知っている奴なら、この式を見ただけで答がわかる代物。
あるいは、①、②を連立させて、
さあ、やってもらいましょうか。ここまで丁寧なヒントを出してやったのだから、ちゃんと最後までヤレ。
誰が読んでも納得してもらえるような、きちんとした答案の形にせよ。
なお、探せば、このブログのどこかにこの答が書いてあるので、答は教えないにゃ。って言っても、ほとんど、答を教えているようなものだけれど・・・。
だけど、
ddt³さんはとっても優しいので、そして、線形代数の記事を投稿してくださっているので、きっと、丁寧な解答を書いて送ってくれと思うにゃ。
ひょっとしたら、連立方程式を解くのに、クロネッカーのデルタを使った解法まで紹介してくれるかもしれないケロよ。
さらに、（２×２の行列の）直交行列の話しなんかもしてくれるかもしれない。
だ・か・ら、
みんな、期待して待つにゃ。