速度・変化率の問題１
問題１ 球状のシャボン玉に空気を送り込んで、球状のまま膨らますものとする。
（１） 毎秒acm³（aは一定）の割合で空気を送り込むとき、体積がbcm³の状態からt秒後における半径rcmの増加率（tについての）をtの関数で表わせ。
（２） 表面積の増加率を一定とするとき、体積Vcm³の増加率は
【解答】
（１） t秒後の体積はb+atだから、
両辺をtで微分すると、
（２） 表面積をSとすると、
また、
したがって、表面積の増加率を一定とするとき、体積Vcm³の増加率は
（解答終）
類題 半径ｒcmの球の体積が一様な速さacm³/秒で増加している。直径が１０cmになったときの表面積が増加する割合を求めよ。
【解答】
体積をVとすると
両辺をｔで微分すると、
表面積S=πr²をtで微分すると
よって、r=5のとき、
（解答終）
【解答】
地面からはしごの上端の距離をyｍ、壁からはしごの下端の距離をxｍとすると、
両辺をtで微分すると、
はしごの下端が地面に沿って毎秒２ｍ遠ざかっているので、
x=３のとき、
以上の結果を①に代入すると、
よって、毎秒3/2ｍで下方に降下する。
（解答終）
問題３ 水面から３０ｍの高さの岸壁の頂から５８ｍの綱で船を５８ｍの綱で引き寄せる。毎秒４ｍの速さで綱をたぐると、２秒後の船の速さはいくらか。
【解答】
岸壁の頂きをA、その真下の水面をB、船の位置をPとし、
とすると、
綱を引く速さは
①をtで微分すると、
２秒後の綱の長さs=50なので、①より
よって、②と、x=2、s=50より
よって、船の速さは２ｍ/秒。
（解答終）