意外に厄介な微分方程式の問題
お正月に実家に帰省した際、高校時代に使っていた問題集の問題をいくつか眺め、簡単に解けそうだけれど、実際に解くと大変そうだな思う問題があったので、解いてみた。
問題１ 微分方程式
の解を求めよ。ただし、初期条件y(0)=1を満たすものとする。
【解】
とおくと、微分方程式は
になり、変数分離法を用いて次のように解くことができる。
この結果を①に代入すると、
また、初期条件y(0)=1より
②に代入すると、
よって、
したがって、
（解答終）
決して難しい問題ではないけれど、計算がちょっと面倒くさいケロ。
別解として次のものを挙げておこう。
【別解】
の両辺をxで微分すると、
ここで、u=dy/dxとおくと、
この微分方程式の解は
したがって、
となる。
これを①式の左辺に代入すると、
となるので、①は
となる。
初期条件y(0)=1より、
連立方程式
を解くと、
したがって、
（別解終）
どちらが楽かは、正直、微妙ですが、変数分離法を使わないので、疚しさは多少軽減されるに違いない（笑）。
問題２ 微分方程式
の解で、そのグラフと２直線x=0、y=2の囲む図形の面積が１となるものを全て求めよ。
おそらく、この問題は次のように解くのであろう。
【解】
これをyについて解くと
になる。
C=0のとき、定数関数y=1となり不適。
C>0のとき、x=0、y=2と①が囲む面積は
だから、条件より
したがって、
となるので、
したがって、
（解答終）
定数関数y=0という自明の解（特異解）が存在するが、これは大昔に出題された大学入試問題だし、この解の吟味はしなくてもいいに違いない(^^ゞ
うるさいことを言い出したら、キリがないからね〜。