「積分を利用して、不等式を導く」の問題の解答例
問題 積分を用いて、次の関係が成り立つことを証明せよ。
【解】
x>0とする。
である。
したがって、
【解答終】
という関係は、x>0のとき、[0,x]で
について平均値の定理を適用することで、証明することもできる。
平均値の定理から、
であるcが存在する。
0<c<xだから、
よって、
愚直に、
などと置き、これらを微分し、x>0のとき、
だから、f(x)、g(x)は狭義増加関数。
よって、
したがって、
としてもよいけれど、積分や平均値の定理を使ったほうがスッキリ証明できる。
では、宿題を一つ。
宿題 積分を利用して、次の関係が成り立つことを示せ。
さらに、もう一曲♪